Analysis Beispiele

$y = x^{2} - 3 x + 1$ , $[0, 2]$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{2} - 3 x + 1$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$

Schritt 2

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $2 x - 3$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 5

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 6

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x - 3 d x)$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Schritt 12.2

Berechne $- 3 x$ bei $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.6

Addiere $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 3 \cdot 0)$

Schritt 12.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 0)$

Schritt 12.3.10

Addiere $- 6$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6)$

Schritt 12.3.11

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 2)$

Schritt 13

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot - 2$

Schritt 13.2

Addiere $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot - 2$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = - 1$

Schritt 15