Analysis Beispiele

$y = \sqrt{2 x}$ , $(2, 8)$

Schritt 1

Schreibe $y = \sqrt{2 x}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{2 x}$

Schritt 2

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \sqrt{2 x}$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2

Da $2^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 2.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.1.10

Kombiniere $2^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.11.1

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.11.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1.12.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.12.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.12.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f' (x)$ stetig auf $[2, 8]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} \sqrt{x^{1}}}$

Schritt 3.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x^{1}}}$

Schritt 3.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

Schritt 3.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{2} \sqrt{x} = 0$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(\sqrt{2} \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Vereinfache ${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}$ an.

${\sqrt{2}}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.2.2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.4

Vereinfache.

$2 x = 0^{2}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 4

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[2, 8]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 5

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 6

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\int_{2}^{8} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Schritt 8.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Schritt 8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{8})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $8$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 10.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2.6

Addiere $2$ und $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2.7

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Schritt 10.2.8

Potenziere $2$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Schritt 10.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{1 + \frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2.10

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}))$

Schritt 10.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2 + 1}{2}}))$

Schritt 10.2.12

Addiere $2$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $2^{\frac{1}{2}}$ aus $2^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $2^{\frac{1}{2}}$ aus $- 2^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Schritt 11.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Schritt 11.3.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} - 2^{\frac{2}{2}})$

Schritt 11.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.4.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{2} - 2^{\frac{2}{2}})$

Schritt 11.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2^{\frac{2}{2}})$

Schritt 11.4.3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Schritt 11.4.4

Berechne den Exponenten.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 1 \cdot 2)$

Schritt 11.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Schritt 11.5

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2)$

Schritt 12

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 2$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 2$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{3}$

Schritt 14