Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ , $- 1 < x < - 0$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2 x}{3} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} + 3$

Schritt 1.1.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.1.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 1.1.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 + 9}{3}$

Schritt 1.1.4.4.2

Addiere $2$ und $9$ .

$f' (x) = \frac{11}{3}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{11}{3}$ .

$\frac{11}{3}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[- 1, 0]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\int_{- 1}^{0} \frac{11}{3} d x)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3} x]_{- 1}^{0})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{11}{3} x$ bei $0$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} ((\frac{11}{3} \cdot 0) - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{11}{3}$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + 1 (\frac{11}{3}))$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $\frac{11}{3}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + \frac{11}{3})$

Schritt 7.2.4

Addiere $0$ und $\frac{11}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3})$

Schritt 8

Addiere $0$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 1 \cdot \frac{11}{3}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{11}{3}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{11}{3}$

Schritt 11