Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{3}{x - 2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Schritt 2

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[4, 7]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{3}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Schritt 3

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[4, 7]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

Schritt 7

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 7.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{lower} = 4 - 2$

Schritt 7.3

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 7.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{upper} = 7 - 2$

Schritt 7.5

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Schritt 7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

Schritt 9

Berechne $\ln (| u |)$ bei $5$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

Schritt 10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

Schritt 11.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Schritt 12

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (\frac{5}{2})$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

Schritt 14