Analysis Beispiele

$y = x^{2}$ , $(2, 5)$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = x^{2}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[2, 5]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $5$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 7.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3})$

Schritt 7.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

Schritt 7.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125 - 8}{3})$

Schritt 7.2.8

Subtrahiere $8$ von $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{117}{3})$

Schritt 7.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $117$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.9.1

Faktorisiere $3$ aus $117$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3})$

Schritt 7.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 (1)})$

Schritt 7.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1})$

Schritt 7.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39}{1})$

Schritt 7.2.9.2.4

Dividiere $39$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39)$

Schritt 8

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 39$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Faktorisiere $3$ aus $39$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (13))$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 13)$

Schritt 9.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 13$

Schritt 10