Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x - 2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[4, 7]$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[4, 7]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Setze den Nenner in $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Schritt 2.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[4, 7]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Die Funktion ist im Intervall $[4, 7]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[4, 7]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 4