Analysis Beispiele

$\sec^{2} (x)$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $\sec^{2} (x + h)$ .

$\sec^{2} (x + h)$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

$f (x) = \sec^{2} (x)$

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

$f (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) - (\sec^{2} (x))}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)})}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{h}$

Schritt 4.2.1.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \sec^{2} (x)}{h}$

Schritt 4.2.1.4

Um $- \sec^{2} (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \sec^{2} (x) \cdot \frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2.1.5

Kombiniere $- \sec^{2} (x)$ und $\frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} + \frac{- \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2.1.7

Schreibe $\frac{1 - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.1.7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2} - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2.1.7.2

Schreibe $\sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)$ als ${(\sec (x) \cos (x + h))}^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2} - {(\sec (x) \cos (x + h))}^{2}}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2.1.7.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sec (x) \cos (x + h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.2.3

Kombinieren.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \cdot 1}{\cos^{2} (x + h) h}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h) h}$

Schritt 4.2.4.2

Stelle die Faktoren in $\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h) h}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} (1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 1 + \sec (x) \cos (x + h) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{(1 + lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.4

Ziehe den Term $\sec (x)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{(1 + \sec (x) lim_{h \to 0} \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.7

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.10

Ziehe den Term $\sec (x)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) lim_{h \to 0} \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.13

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 5.1.2.14.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + 0)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.14.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + 0)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.15.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.15.2.1

Schreibe $\sec (x) \cos (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{(1 + 1) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15.4

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{2 \cdot (1 - \sec (x) \cos (x))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.15.5.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.15.5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{2 \cdot (1 - (\sec (x) \cos (x)))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15.5.1.2

Schreibe $- \sec (x) \cos (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \cdot (1 - (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15.5.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{2 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot (1 - 1)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.2.15.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x + h)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot {(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

Schritt 5.1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 5.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 5.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 5.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 5.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x + 0)}$

Schritt 5.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.3.7.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x)}$

Schritt 5.1.3.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.7.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{h \cos^{2} (x + h)} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ gleich $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ist mit $f (h) = 1 + \sec (x) \cos (x + h)$ und $g (h) = 1 - \sec (x) \cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 - \sec (x) \cos (x + h)] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sec (x) \cos (x + h)$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.6

Da $- \sec (x)$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \sec (x) \cos (x + h)$ nach $h$ gleich $- \sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \cos (h)$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 5.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.7.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.7.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 \sec (x) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.9

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (\sec (x) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.11

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.12

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) \cdot 1 + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.14

Mutltipliziere $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.16

Da $1$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (0 + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.17

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.18

Da $\sec (x)$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $\sec (x) \cos (x + h)$ nach $h$ gleich $\sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (\sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.19

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \cos (h)$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 5.3.19.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.19.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.19.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.20

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.21

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.22

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.23

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \cdot 1)}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25

Vereinfache.

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Schritt 5.3.25.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.25.3.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.3.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.3.3

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.3.6

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.3.7

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x)) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.3.8

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.4

Stelle die Terme um.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.25.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.25.5.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.1.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.1.5

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ und $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.2

Um $\frac{1}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos^{2} (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.25.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.3.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 5.3.25.5.3.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.3.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.3.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) \frac{\cos (x) + \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.5

Kombiniere $\sin (x + h)$ und $\frac{\cos (x) + \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.25.5.6.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.6.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.6.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.6.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.6.5

Kombiniere $\cos (x + h)$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.7

Um $\frac{1}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos^{2} (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.25.5.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.8.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 5.3.25.5.8.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.8.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.8.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.8.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) \frac{\cos (x) - \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.5.10

Kombiniere $\frac{\cos (x) - \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \frac{(\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h)) - (\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.25.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - (\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) - - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.7.3

Multipliziere $- - \cos (x + h)$ .

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Schritt 5.3.25.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) + 1 \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.7.3.2

Mutltipliziere $\cos (x + h)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) + \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.8

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)$ .

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Schritt 5.3.25.8.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sin (x + h) \cos (x)$ und $- \cos (x) \sin (x + h)$ neu an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \sin (x + h) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.8.2

Subtrahiere $\cos (x) \sin (x + h)$ von $\cos (x) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x + h) + 0 + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.8.3

Addiere $\sin (x + h) \cos (x + h)$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.9

Stelle die Faktoren von $\sin (x + h) \cos (x + h)$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos (x + h) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.10

Addiere $\cos (x + h) \sin (x + h)$ und $\cos (x + h) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.11

Stelle $2 \cos (x + h)$ und $\sin (x + h)$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (2 \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.12

Stelle $\sin (x + h)$ und $2$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot \sin (x + h) \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.13

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 (x + h))}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.25.14

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Schritt 5.3.26

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ gleich $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ist mit $f (h) = h$ und $g (h) = \cos^{2} (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h \frac{d}{d h} [\cos^{2} (x + h)] + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.27

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{2}$ und $g (h) = \cos (x + h)$ .

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Schritt 5.3.27.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.27.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 u_{1} \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.27.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.28

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \cos (h)$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 5.3.28.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.28.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.28.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.29

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.30

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.31

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.32

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.33

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) \cdot 1) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.34

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.35

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h) \cdot 1}$

Schritt 5.3.36

Mutltipliziere $\cos^{2} (x + h)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.3.37

Stelle die Terme um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}$ mit $\frac{1}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x) (- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h))}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Ziehe den Term $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} \sin (2 x + 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (lim_{h \to 0} 2 x + 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.5

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- lim_{h \to 0} 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cos (x + h) \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} \cos (x + h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (lim_{h \to 0} x + h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.12

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.13

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.14

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.15

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 6.16

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x + h)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + {(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

Schritt 6.17

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

Schritt 6.18

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 6.19

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 7.4

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 7.5

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Schritt 8.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Schritt 8.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x + 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Schritt 8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $\cos (x + 0)$ aus $- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)$ heraus.

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Schritt 8.5.1.1

Faktorisiere $\cos (x + 0)$ aus $- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0)$ heraus.

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos^{2} (x + 0)}$

Schritt 8.5.1.2

Faktorisiere $\cos (x + 0)$ aus $\cos^{2} (x + 0)$ heraus.

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos (x + 0) \cos (x + 0)}$

Schritt 8.5.1.3

Faktorisiere $\cos (x + 0)$ aus $\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos (x + 0) \cos (x + 0)$ heraus.

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0) + \cos (x + 0))}$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 \cdot \sin (x + 0) + \cos (x + 0))}$

Schritt 8.5.3

Addiere $x$ und $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 \cdot \sin (x) + \cos (x + 0))}$

Schritt 8.5.4

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 + \cos (x + 0))}$

Schritt 8.5.5

Addiere $x$ und $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 + \cos (x))}$

Schritt 8.5.6

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) \cos (x)}$

Schritt 8.5.7

Addiere $x$ und $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 8.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.6.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Schritt 8.6.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Schritt 8.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 8.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sec^{2} (x) \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (x)$ und $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 8.8.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.8.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 8.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 8.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sec^{2} (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.9

Separiere Brüche.

$\sec^{2} (x) (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8.10

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\sec^{2} (x) (\frac{2}{1} \tan (x))$

Schritt 8.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 8.12

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 9