Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 8 x + 10$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 6 x^{2} + 8 x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8 + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4 x^{3} - 12 x + 8$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x + 8$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 12 x + 8$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 12 x + 8 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 12 x + 8 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 12 x + 8$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 12 x + 8 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x) + 8 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 x^{3} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 2 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 (- 3 x)$ heraus.

$4 (x^{3} - 3 x) + 4 \cdot 2 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 3 x) + 4 \cdot 2$ heraus.

$4 (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x^{3} - 3 x + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 2.2.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Schritt 2.2.2.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Schritt 2.2.2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 - 3 + 2$

Schritt 2.2.2.3.4

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 2$

Schritt 2.2.2.3.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 2.2.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.5

Dividiere $x^{3} - 3 x + 2$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 2.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Schritt 2.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 2.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 2.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 2.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 2.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Schritt 2.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 2.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 2.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 2.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x + 2$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 2.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Schritt 2.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + x - 2$

Schritt 2.2.2.6

Schreibe $x^{3} - 3 x + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 2.2.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.4.1

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 2.2.4.1.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$4 ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.4.1.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$4 ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{4} - 6 x^{2} + 8 x + 10$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2} + 8 (1) + 10$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 6 {(1)}^{2} + 8 (1) + 10$

Schritt 4.1.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 6 \cdot 1 + 8 (1) + 10$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$1 - 6 + 8 (1) + 10$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$1 - 6 + 8 + 10$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$- 5 + 8 + 10$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $- 5$ und $8$ .

$3 + 10$

Schritt 4.1.2.2.3

Addiere $3$ und $10$ .

$13$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2) + 10$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$16 - 6 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2) + 10$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$16 - 6 \cdot 4 + 8 (- 2) + 10$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$16 - 24 + 8 (- 2) + 10$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$16 - 24 - 16 + 10$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $24$ von $16$ .

$- 8 - 16 + 10$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $- 8$ .

$- 24 + 10$

Schritt 4.2.2.2.3

Addiere $- 24$ und $10$ .

$- 14$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, 13), (- 2, - 14)$

Schritt 5