Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) + 3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} - (\frac{2 x}{x + 3})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{2 x}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h + 3) (x + 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2 x}{x + 3}$ mit $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h + 3) (x + 3)$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + h) (x + 3)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x (x + h + 3)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Multipliziere $(x + h) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x (x + 3) + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x \cdot x - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.5.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h + 0 - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Addiere $h x + 3 h - x h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Subtrahiere $x h$ von $h x$ .

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Schritt 4.1.5.10.1

Stelle $h$ und $x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + x h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10.2

Subtrahiere $x h$ von $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11

Addiere $3 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (3 h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $h$ aus $6 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $\frac{6}{x + 3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{6}{x + 3} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 3}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 3}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 0 + 3}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Schritt 7.2

Multipliziere $\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$ .

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{6}{x + 3}$ mit $\frac{1}{x + 3}$ .

$\frac{6}{(x + 3) (x + 3)}$

Schritt 7.2.2

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

Schritt 7.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 8