Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{1}{x + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + h}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h) x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Subtrahiere $h$ von $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{h}{x (x + h)}$ in den Zähler.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $\frac{1}{x}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Schritt 5.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Addiere $x$ und $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 7.2

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x \cdot x}$

Schritt 7.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Schritt 7.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 8