Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{4 - {(x + h)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (x + h) = \frac{1}{2^{2} - {(x + h)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - (x + h))}$

Schritt 2.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ .

$\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

$f (x) = \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

$f (x) = \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} - (\frac{1}{(2 + x) (2 - x)})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 + x + h) (2 - x - h) (2 + x) (2 - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ mit $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ mit $\frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))}}{h}$

Schritt 4.1.3.4

Stelle die Faktoren von $(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (2 - x) + x (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - x \cdot x - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 + 0 - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} + (- 1 \cdot 2 - x - h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} + (- 2 - x - h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Multipliziere $(- 2 - x - h) (2 - x - h)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (- x) - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 - 2 (- x) - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.6.6.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + 1 x^{2} - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.8

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} - 1 \cdot (- 1 x h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + 1 x h - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.11

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h - 1 \cdot (- 1 h x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + 1 h x - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.15

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.16

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.17

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.6.17.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.17.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + 1 h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.19

Mutltipliziere $h^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.7.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 h + 0 + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.2

Addiere $- 4 + 2 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 h + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.3

Subtrahiere $2 h$ von $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + 0 + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.4

Addiere $- 4 + x^{2} + x h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 4.1.5.8.1

Stelle $h$ und $x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8.2

Addiere $x h$ und $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} + 0 + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12

Addiere $0$ und $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.13

Faktorisiere $h$ aus $2 x h + h^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.5.13.1

Faktorisiere $h$ aus $2 x h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.13.2

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.13.3

Faktorisiere $h$ aus $h (2 x) + h (h)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}$

Schritt 5

Ziehe den Term $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} 2 + x + h \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Schritt 13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (lim_{h \to 0} 2 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 15

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 16

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 16.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 16.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 16.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x + 0)}$

Schritt 17

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 17.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x + 0)}$

Schritt 17.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.2.1

Addiere $2 + x$ und $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x + 0)}$

Schritt 17.2.2

Addiere $2 - x$ und $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 17.3

Multipliziere $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$ .

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Schritt 17.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ mit $\frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{2 x}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x))}$

Schritt 17.3.2

Potenziere $2 + x$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1} (2 + x) (2 - x) (2 - x)}$

Schritt 17.3.3

Potenziere $2 + x$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1} {(2 + x)}^{1} (2 - x) (2 - x)}$

Schritt 17.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1 + 1} (2 - x) (2 - x)}$

Schritt 17.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} (2 - x) (2 - x)}$

Schritt 17.3.6

Potenziere $2 - x$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} ({(2 - x)}^{1} (2 - x))}$

Schritt 17.3.7

Potenziere $2 - x$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} ({(2 - x)}^{1} {(2 - x)}^{1})}$

Schritt 17.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{1 + 1}}$

Schritt 17.3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 18