Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} h$ heraus.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x h^{2}$ heraus.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.3.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $h^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.4

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - ((x + h) (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.5

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x (x + h) + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.6.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.6.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.6.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.6.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Schritt 2.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Stelle $x^{2}$ und $h$ um.

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Schritt 2.2.2

Stelle $x$ und $h^{2}$ um.

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Schritt 2.2.3

Bewege $- 4 x$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Schritt 2.2.4

Bewege $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Schritt 2.2.5

Bewege $- 2 h x$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Schritt 2.2.6

Bewege $\frac{x^{3}}{3}$ .

$h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Schritt 2.2.7

Bewege $h x^{2}$ .

$h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Schritt 2.2.8

Stelle $h^{2} x$ und $\frac{h^{3}}{3}$ um.

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - (\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Multipliziere $- - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 1 x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $\frac{x^{3}}{3}$ von $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $\frac{h^{3}}{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $\frac{h^{3}}{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0 + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $\frac{h^{3}}{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32 - 32}{3}}{h}$

Schritt 4.1.10

Subtrahiere $32$ von $32$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}}{h}$

Schritt 4.1.11

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.11.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.11.2

Addiere $\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.12

Um $h^{2} x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x \cdot \frac{3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.13

Kombiniere $h^{2} x$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + \frac{h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3} + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.15

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.15.1

Faktorisiere $h^{2}$ aus $h^{3} + h^{2} x \cdot 3$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.15.1.1

Faktorisiere $h^{2}$ aus $h^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.15.1.2

Faktorisiere $h^{2}$ aus $h^{2} x \cdot 3$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.15.1.3

Faktorisiere $h^{2}$ aus $h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.15.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.16

Um $h x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} \cdot \frac{3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.17

Kombiniere $h x^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + \frac{h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.19

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.19.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.19.1.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} (h + 3 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2}) \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.19.1.2

Faktorisiere $h$ aus $h x^{2} \cdot 3$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.19.1.3

Faktorisiere $h$ aus $h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.19.3

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.19.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.19.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.20

Um $- h^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} \cdot \frac{3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.21

Kombiniere $- h^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} + \frac{- h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.23

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.23.1

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.23.1.1

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2} \cdot 3$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.23.1.2

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.23.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.24

Um $- 2 h x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x \cdot \frac{3}{3} - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.25

Kombiniere $- 2 h x$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} + \frac{- 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.27

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.27.1

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.27.1.1

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x \cdot 3$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.27.1.2

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.27.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.28

Um $- 4 h$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h \cdot \frac{3}{3}}{h}$

Schritt 4.1.29

Kombiniere $- 4 h$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} + \frac{- 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

Schritt 4.1.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

Schritt 4.1.31

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.31.1

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.31.1.1

Faktorisiere $h$ aus $- 4 h \cdot 3$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

Schritt 4.1.31.1.2

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

Schritt 4.1.31.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kombinieren.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12}{3}$

Schritt 5

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Schritt 8

Ziehe den Term $3 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $3 x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Schritt 10

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $6 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Schritt 14.1.2

Multipliziere $3 x \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 x + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Schritt 14.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

Schritt 14.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

Schritt 14.2.2

Addiere $0$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

Schritt 14.2.3

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2} - 6 x - 12)$

Schritt 14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Schritt 14.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (x^{2})) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Schritt 14.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Schritt 14.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Schritt 14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Schritt 14.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Schritt 14.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Schritt 14.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 4))$

Schritt 14.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 4)$

Schritt 14.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 2 x - 4$

Schritt 15