Analysis Beispiele

$f (t) = K t^{2}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{f (t + h) - f t}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = t + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $t + h$ .

$f (t + h) = K {(t + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${(t + h)}^{2}$ als $(t + h) (t + h)$ um.

$f (t + h) = K ((t + h) (t + h))$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $(t + h) (t + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = K (t (t + h) + h (t + h))$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h (t + h))$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $t h$ und $h t$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Stelle $t$ und $h$ um.

$f (t + h) = K (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Addiere $h t$ und $h t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

Schritt 2.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = K t^{2} + K (2 h t) + K h^{2}$

Schritt 2.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (t + h) = K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

Schritt 2.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$ .

$K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $K t^{2}$ .

$2 K h t + K h^{2} + K t^{2}$

Schritt 2.2.2

Stelle $2 K h t$ und $K h^{2}$ um.

$K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + K t^{2} - (K t^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $K t^{2}$ von $K t^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + 0}{h}$

Schritt 4.1.2

Addiere $K h^{2} + 2 K h t$ und $0$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t}{h}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $K h$ aus $K h^{2} + 2 K h t$ heraus.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $K h$ aus $K h^{2}$ heraus.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + 2 K h t}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere $K h$ aus $2 K h t$ heraus.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + K h (2 t)}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $K h$ aus $K h \cdot h + K h (2 t)$ heraus.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $K (h + 2 t)$ durch $1$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} K (h + 2 t)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + K (2 t)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + 2 K t$

Schritt 4.2.3.2

Stelle $K h$ und $2 K t$ um.

$f' (t) = lim_{h \to 0} 2 K t + K h$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 K t + lim_{h \to 0} K h$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $2 K t$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2 K t + lim_{h \to 0} K h$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $K$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$2 K t + K lim_{h \to 0} h$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$2 K t + K \cdot 0$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $K$ mit $0$ .

$2 K t + 0$

Schritt 7.2

Addiere $2 K t$ und $0$ .

$2 K t$

Schritt 8