Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (x)$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \cos (x + h)$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $\cos (x + h)$ .

$\cos (x + h)$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \cos (x + h)$

$f (x) = \cos (x)$

$f (x + h) = \cos (x + h)$

$f (x) = \cos (x)$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - (\cos (x))}{h}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (x + h) - (\cos (x))}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (x + h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 4.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 4.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 4.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 4.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $\cos (x)$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (x + lim_{h \to 0} h) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\cos (x + 0) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 4.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x + 0) - \cos (x)$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 4.1.2.3.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - (\cos (x))}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h) - (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h) - (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x + h) - (\cos (x))$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\cos (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

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Schritt 4.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \cos (h)$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.3.3

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.4

Da $- \cos (x)$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.5

Addiere $- \sin (x + h)$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 4.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h)}{1}$

Schritt 4.4

Dividiere $- \sin (x + h)$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (x + h)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- lim_{h \to 0} \sin (x + h)$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- \sin (lim_{h \to 0} x + h)$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \sin (x + lim_{h \to 0} h)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \sin (x + 0)$

Schritt 7

Addiere $x$ und $0$ .

$- \sin (x)$

Schritt 8