Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 {(x + h)}^{5}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Schritt 2.1.2.1.4

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Schritt 2.1.2.1.5

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5})$

Schritt 2.1.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 3 (5 x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Schritt 2.1.2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1.7.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Schritt 2.1.2.1.7.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Schritt 2.1.2.1.7.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Schritt 2.1.2.1.7.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 15 (x h^{4}) - 3 h^{5}$

Schritt 2.1.2.1.8

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Schritt 2.2.3

Bewege $x^{4}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Schritt 2.2.4

Bewege $x^{3}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Schritt 2.2.5

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Schritt 2.2.6

Bewege $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5}$

Schritt 2.2.7

Bewege $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 x^{3}$

Schritt 2.2.8

Bewege $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Schritt 2.2.9

Bewege $15 h^{2} x$ .

$5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Schritt 2.2.10

Bewege $5 h^{3}$ .

$- 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Schritt 2.2.11

Bewege $- 3 x^{5}$ .

$- 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Schritt 2.2.12

Bewege $- 15 h x^{4}$ .

$- 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Schritt 2.2.13

Bewege $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$- 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Schritt 2.2.14

Bewege $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$- 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Schritt 2.2.15

Stelle $- 15 h^{4} x$ und $- 3 h^{5}$ um.

$- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3} - 3 x^{5})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3}) - (- 3 x^{5})}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} - (- 3 x^{5})}{h}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 3 x^{5}}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- 3 x^{5}$ und $3 x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 0}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}}{h}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $5 x^{3}$ von $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 0}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.8

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h^{5}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.8.2

Faktorisiere $h$ aus $- 15 h^{4} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.8.3

Faktorisiere $h$ aus $- 30 h^{3} x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.8.4

Faktorisiere $h$ aus $- 30 h^{2} x^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.8.5

Faktorisiere $h$ aus $- 15 h x^{4}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.8.6

Faktorisiere $h$ aus $5 h^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.8.7

Faktorisiere $h$ aus $15 h^{2} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.8.8

Faktorisiere $h$ aus $15 h x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.8.9

Faktorisiere $h$ aus $h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.8.10

Faktorisiere $h$ aus $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.8.11

Faktorisiere $h$ aus $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.8.12

Faktorisiere $h$ aus $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.8.13

Faktorisiere $h$ aus $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.8.14

Faktorisiere $h$ aus $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.8.15

Faktorisiere $h$ aus $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Schritt 4.2.2.2

Bewege $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Schritt 4.2.2.3

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Schritt 4.2.2.4

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2}$

Schritt 4.2.2.5

Bewege $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2}$

Schritt 4.2.2.6

Bewege $15 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Schritt 4.2.2.7

Bewege $- 3 h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Schritt 4.2.2.8

Bewege $- 15 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Schritt 4.2.2.9

Bewege $- 30 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Schritt 4.2.2.10

Stelle $- 30 x^{3} h$ und $- 15 x^{4}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x^{4} - 30 x^{3} h - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- lim_{h \to 0} 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $15 x^{4}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 7

Ziehe den Term $30 x^{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 8

Ziehe den Term $30 x^{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 10

Ziehe den Term $15 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x lim_{h \to 0} h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $3$ von $h^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 12

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 lim_{h \to 0} h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 13

Ziehe den Exponenten $4$ von $h^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $15 x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 15

Ziehe den Term $15 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Schritt 16

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2}$

Schritt 17

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 18

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 18.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 18.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 18.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 18.4

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 18.5

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 18.6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$- 15 x^{4} - 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.2

Multipliziere $- 30 x^{3} \cdot 0$ .

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Schritt 19.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 30$ .

$- 15 x^{4} + 0 x^{3} - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{3}$ .

$- 15 x^{4} + 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$- 15 x^{4} + 0 - 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 - 30 x^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.5

Multipliziere $- 30 x^{2} \cdot 0$ .

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Schritt 19.1.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 30$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 x^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 - 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 - 15 x \cdot 0 - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.8

Multipliziere $- 15 x \cdot 0$ .

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Schritt 19.1.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 15$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 x - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0 + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.11

Multipliziere $15 x \cdot 0$ .

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Schritt 19.1.11.1

Mutltipliziere $0$ mit $15$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.11.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 19.1.12

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0$

Schritt 19.1.13

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Schritt 19.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$ .

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Schritt 19.2.1

Addiere $- 15 x^{4}$ und $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Schritt 19.2.2

Addiere $- 15 x^{4}$ und $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Schritt 19.2.3

Addiere $- 15 x^{4}$ und $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Schritt 19.2.4

Addiere $- 15 x^{4}$ und $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} + 0 + 0$

Schritt 19.2.5

Addiere $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ und $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} + 0$

Schritt 19.2.6

Addiere $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ und $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Schritt 20