Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.4

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.5

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 ((x + h) (x + h)) + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.6

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.7.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.7.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.2.7.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.7.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Schritt 2.2.3

Bewege $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x - 1$

Schritt 2.2.4

Bewege $2 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x - 1$

Schritt 2.2.5

Bewege $4 h x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Schritt 2.2.6

Bewege $4 x^{3}$ .

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Schritt 2.2.7

Bewege $12 h x^{2}$ .

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Schritt 2.2.8

Stelle $12 h^{2} x$ und $4 h^{3}$ um.

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - (4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - (4 x^{3}) - (2 x^{2}) - x + 1}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - (2 x^{2}) - x + 1}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 + 0 - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $4 h^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + x - 1 + 0 - x + 1}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $4 h^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + x - 1 - x + 1}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + 0 - 1 + 1}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $4 h^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h - 1 + 1}{h}$

Schritt 4.1.9

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}$

Schritt 4.1.10

Addiere $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Schritt 4.1.11

Faktorisiere $h$ aus $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h$ heraus.

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Schritt 4.1.11.1

Faktorisiere $h$ aus $4 h^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Schritt 4.1.11.2

Faktorisiere $h$ aus $12 h^{2} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Schritt 4.1.11.3

Faktorisiere $h$ aus $12 h x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Schritt 4.1.11.4

Faktorisiere $h$ aus $2 h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + 4 h x + h}{h}$

Schritt 4.1.11.5

Faktorisiere $h$ aus $4 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Schritt 4.1.11.6

Potenziere $h$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Schritt 4.1.11.7

Faktorisiere $h$ aus $h^{1}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.11.8

Faktorisiere $h$ aus $h (4 h^{2}) + h (12 h x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.11.9

Faktorisiere $h$ aus $h (4 h^{2} + 12 h x) + h (12 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.11.10

Faktorisiere $h$ aus $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2}) + h (2 h)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.11.11

Faktorisiere $h$ aus $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h) + h (4 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.11.12

Faktorisiere $h$ aus $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot 1$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$

Schritt 4.2.2.2

Bewege $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Schritt 4.2.2.3

Bewege $4 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Schritt 4.2.2.4

Stelle $12 x h$ und $12 x^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 12 x^{2} + lim_{h \to 0} 12 x h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $12 x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$12 x^{2} + lim_{h \to 0} 12 x h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 7

Ziehe den Term $12 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 8

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $4 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 11

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Multipliziere $12 x \cdot 0$ .

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Schritt 14.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $12$ .

$12 x^{2} + 0 x + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Schritt 14.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Schritt 14.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 \cdot 0 + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 0 + 1$

Schritt 14.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 0 + 1$ .

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Schritt 14.2.1

Addiere $12 x^{2}$ und $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 x + 0 + 1$

Schritt 14.2.2

Addiere $12 x^{2}$ und $0$ .

$12 x^{2} + 4 x + 0 + 1$

Schritt 14.2.3

Addiere $12 x^{2} + 4 x$ und $0$ .

$12 x^{2} + 4 x + 1$

Schritt 15