Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 5 {(x + h)}^{2} + 6$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 {(x + h)}^{2} + 6$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 ((x + h) (x + h)) + 6$

Schritt 2.1.2.1.3

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x (x + h) + h (x + h)) + 6$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 6$

Schritt 2.1.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 6$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 6$

Schritt 2.1.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 6$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 6$

Schritt 2.1.2.1.4.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6$

Schritt 2.1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 5 (2 h x) - 5 h^{2} + 6$

Schritt 2.1.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Schritt 2.2.3

Bewege $- 5 x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 10 h x - 5 h^{2} - 5 x^{2} + 6$

Schritt 2.2.4

Bewege $- 10 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Schritt 2.2.5

Bewege $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Schritt 2.2.6

Bewege $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Schritt 2.2.7

Stelle $3 h^{2} x$ und $h^{3}$ um.

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - (x^{3} - 5 x^{2} + 6)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} - (- 5 x^{2}) - 1 \cdot 6}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} + 5 x^{2} - 1 \cdot 6}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} + 5 x^{2} - 6}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 + 0 + 5 x^{2} - 6}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $h^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 + 5 x^{2} - 6}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- 5 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 0 + 6 - 6}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $h^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 6 - 6}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $h$ aus $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $3 h^{2} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $3 h x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $- 5 h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) - 10 h x}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $- 10 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Schritt 4.1.9.6

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2}) + h (3 h x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Schritt 4.1.9.7

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Schritt 4.1.9.8

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 5 h)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Schritt 4.1.9.9

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h) + h (- 10 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$

Schritt 4.2.2.2

Bewege $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 10 x - 5 h$

Schritt 4.2.2.3

Bewege $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 10 x - 5 h$

Schritt 4.2.2.4

Stelle $3 x h$ und $3 x^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 10 x - 5 h$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $3 x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Schritt 7

Ziehe den Term $3 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $10 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Schritt 10

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Multipliziere $3 x \cdot 0$ .

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Schritt 12.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Schritt 12.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Schritt 12.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x - 5 \cdot 0$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x + 0$

Schritt 12.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x + 0$ .

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Schritt 12.2.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 10 x + 0$

Schritt 12.2.2

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 0$

Schritt 12.2.3

Addiere $3 x^{2} - 10 x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 10 x$

Schritt 13