Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{5}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Schritt 2.2.2

Bewege $x^{3}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Schritt 2.2.3

Bewege $x^{2}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Schritt 2.2.4

Bewege $x$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5}$

Schritt 2.2.5

Bewege $x^{5}$ .

$5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + x^{5}$

Schritt 2.2.6

Bewege $5 h x^{4}$ .

$10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Schritt 2.2.7

Bewege $10 h^{2} x^{3}$ .

$10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Schritt 2.2.8

Bewege $10 h^{3} x^{2}$ .

$5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Schritt 2.2.9

Stelle $5 h^{4} x$ und $h^{5}$ um.

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5} - (x^{5})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $x^{5}$ von $x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + 0}{h}$

Schritt 4.1.2

Addiere $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $h$ aus $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ heraus.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{5}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{4} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere $h$ aus $5 h^{4} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $h$ aus $10 h^{3} x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Schritt 4.1.3.4

Faktorisiere $h$ aus $10 h^{2} x^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + 5 h x^{4}}{h}$

Schritt 4.1.3.5

Faktorisiere $h$ aus $5 h x^{4}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Schritt 4.1.3.6

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{4}) + h (5 h^{3} x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Schritt 4.1.3.7

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Schritt 4.1.3.8

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Schritt 4.1.3.9

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Schritt 4.2.2.2

Bewege $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Schritt 4.2.2.3

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4}$

Schritt 4.2.2.4

Bewege $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + h^{4}$

Schritt 4.2.2.5

Bewege $5 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Schritt 4.2.2.6

Bewege $10 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Schritt 4.2.2.7

Stelle $10 x^{3} h$ und $5 x^{4}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $5 x^{4}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Schritt 7

Ziehe den Term $10 x^{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Schritt 8

Ziehe den Term $10 x^{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Schritt 10

Ziehe den Term $5 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $3$ von $h^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $4$ von $h^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Schritt 13.4

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Multipliziere $10 x^{3} \cdot 0$ .

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Schritt 14.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $10$ .

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Schritt 14.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Schritt 14.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Schritt 14.1.3

Multipliziere $10 x^{2} \cdot 0$ .

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Schritt 14.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $10$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 x^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Schritt 14.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Schritt 14.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0 + 0^{4}$

Schritt 14.1.5

Multipliziere $5 x \cdot 0$ .

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Schritt 14.1.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 x + 0^{4}$

Schritt 14.1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0^{4}$

Schritt 14.1.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

Schritt 14.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$ .

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Schritt 14.2.1

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0$

Schritt 14.2.2

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0$

Schritt 14.2.3

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Schritt 14.2.4

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$5 x^{4}$

Schritt 15