Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \sqrt{x} + 6 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \sqrt{π}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \sqrt{x} + 6 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \sqrt{π}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.10

Kombiniere $5$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{3}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 4.5

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 4.6.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Schritt 5

Da $\sqrt{π}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt{π}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x + 0$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Addiere $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x$ und $0$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$18 x^{2} - x + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$