Analysis Beispiele

Verwende die Grenzwertdefinition, um die Ableitung zu bestimmen f(x)=x^2e^(-x)
Schritt 1
Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.
Schritt 2
Bestimme die Komponenten der Definition.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Berechne die Funktion bei .
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Schritt 2.1.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 2.1.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 2.1.2.1
Schreibe als um.
Schritt 2.1.2.2
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
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Schritt 2.1.2.2.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.1.2.2.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.1.2.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.1.2.3
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
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Schritt 2.1.2.3.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.1.2.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.3.2
Addiere und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.3.2.1
Stelle und um.
Schritt 2.1.2.3.2.2
Addiere und .
Schritt 2.1.2.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.1.2.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.1.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 2.2
Stelle um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Stelle und um.
Schritt 2.2.2
Stelle und um.
Schritt 2.2.3
Stelle und um.
Schritt 2.3
Bestimme die Komponenten der Definition.
Schritt 3
Setze die Komponenten ein.
Schritt 4
Entferne die Klammern.
Schritt 5
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 5.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 5.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 5.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 5.1.2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.2.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.1.2.3
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 5.1.2.4
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.2.5
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 5.1.2.6
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.1.2.7
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.2.8
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 5.1.2.9
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.2.10
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 5.1.2.11
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.2.12
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 5.1.2.13
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 5.1.2.14
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.2.15
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 5.1.2.16
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 5.1.2.17
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 5.1.2.17.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.2.17.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.2.17.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.2.17.4
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.2.17.5
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.2.18
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.18.1
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 5.1.2.18.1.1
Subtrahiere von .
Schritt 5.1.2.18.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 5.1.2.18.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 5.1.2.18.1.4
Subtrahiere von .
Schritt 5.1.2.18.1.5
Addiere und .
Schritt 5.1.2.18.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.18.2.1
Multipliziere .
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Schritt 5.1.2.18.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2.18.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2.18.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2.18.2.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 5.1.2.18.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2.18.3
Addiere und .
Schritt 5.1.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 5.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 5.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 5.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.3.3
Berechne .
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Schritt 5.3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 5.3.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.3.3.2.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 5.3.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.3.3.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.3.3.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.3.3.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.3.6
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 5.3.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.3.8
Addiere und .
Schritt 5.3.3.9
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.3.3.10
Schreibe als um.
Schritt 5.3.4
Berechne .
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Schritt 5.3.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.3.4.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 5.3.4.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 5.3.4.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.3.4.3.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 5.3.4.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.3.4.4
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.3.4.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.3.4.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.4.7
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 5.3.4.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.4.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.4.10
Addiere und .
Schritt 5.3.4.11
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.3.4.12
Schreibe als um.
Schritt 5.3.4.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.5
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.5.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 5.3.5.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.5.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.3.5.2.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 5.3.5.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.3.5.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.3.5.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.3.5.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.5.6
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 5.3.5.7
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.5.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.5.9
Addiere und .
Schritt 5.3.5.10
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.3.5.11
Schreibe als um.
Schritt 5.3.6
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 5.3.7
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.7.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.7.2
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.7.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.7.2.2
Addiere und .
Schritt 5.3.7.3
Stelle die Terme um.
Schritt 5.3.7.4
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 5.3.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.4
Dividiere durch .
Schritt 6
Berechne den Grenzwert.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 6.3
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 6.4
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.5
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 6.6
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 6.7
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.8
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 6.9
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.10
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 6.11
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 6.12
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 6.13
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.14
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 6.15
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.16
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 6.17
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 6.18
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.19
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 6.20
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 6.21
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.22
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 6.23
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.24
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 7
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 7.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.4
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.5
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.6
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.7
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.8
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 8
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1.1
Subtrahiere von .
Schritt 8.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 8.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 8.1.4
Subtrahiere von .
Schritt 8.1.5
Subtrahiere von .
Schritt 8.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 8.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.3.1
Addiere und .
Schritt 8.3.2
Addiere und .
Schritt 8.3.3
Addiere und .
Schritt 9