Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ und deren Summe gleich $b = - 6$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1.1

Stelle die Terme um.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.2

Stelle $27$ und $- 6 (x + h)$ um.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.3

Schreibe $- 6$ um als $3$ plus $- 9$

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- (x + h) + 3$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - h + 3$ und $x + h - 3$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- h$ heraus.

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (h)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.2.1.4

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x + h) - 1 (- 3)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.2.1.6

Schreibe $- (x + h - 3)$ als $- 1 (x + h - 3)$ um.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.2.1.8

Dividiere $- 1 (x + h + 9)$ durch $1$ .

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

Schritt 2.1.2.2.2

Schreibe $- 1 (x + h + 9)$ als $- (x + h + 9)$ um.

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

Schritt 2.1.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (x + h) = - x - h - 9$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- x - h - 9$ .

$- x - h - 9$

Schritt 2.2

Stelle $- x$ und $- h$ um.

$- h - x - 9$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- x$ und $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $- h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $- 1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- 1$

Schritt 6