Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 x - 2 x^{2} + 6}{2 x}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6$ und $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (x + h)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 {(x + h)}^{2}$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 \cdot 3}{2 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 (3)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.2.1

Es sei $u = x + h$ . Ersetze $u$ für alle $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{2 u - u^{2} + 3}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Stelle die Terme um.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 u + 3}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 2.1.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 (u) + 3}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2.2.2.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} - 1 u + 3 u + 3}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.2.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x + h) = \frac{(- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x + h) = \frac{u (- u - 1) - 3 (- u - 1)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 1$ .

$f (x + h) = \frac{(- u - 1) (u - 3)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{(- x - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1.2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- h$ heraus.

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (h)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.3.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x + h) - 1 (1)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.6.1

Schreibe $- (x + h + 1)$ als $- 1 (x + h + 1)$ um.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ .

$- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} - (- \frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + 1 (\frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Schritt 4.1.3

Um $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.4.3

Stelle die Faktoren von $(x + h) x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{x (x + h)} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1 \cdot 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.3

Multipliziere $(- x - h - 1) (x + h - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.6.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.6.4.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.3

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.6.4.3.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - (h \cdot h) - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.3.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.6

Schreibe $- 1 h$ als $- h$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.5

Subtrahiere $h x$ von $- x h$ .

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Schritt 4.1.6.5.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - 1 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.5.2

Subtrahiere $x h$ von $- x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.6

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 3 h - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.7

Subtrahiere $h$ von $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 2 h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} x - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.9

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.9.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.6.9.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.9.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.6.9.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.9.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{1 + 2} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.9.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.9.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.6.9.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 (x \cdot x) h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.9.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.9.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.6.9.3.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 (x \cdot x) - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.9.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.10

Multipliziere $(x + 1) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.6.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x (x - 3) + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.6.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.6.11.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.11.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.11.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.11.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.11.2

Addiere $- 3 x$ und $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 2 x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.12

Multipliziere $(x^{2} - 2 x - 3) (x + h)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.6.13.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.6.13.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.1.6.13.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.13.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2 + 1} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.13.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.13.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.6.13.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.13.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.14

Addiere $- x^{3}$ und $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.15

Addiere $- 2 x^{2} h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.16

Addiere $- 2 x^{2} h$ und $x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.17

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.18

Addiere $- x^{2} h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.19

Subtrahiere $2 x h$ von $2 h x$ .

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Schritt 4.1.6.19.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 2 x h - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.19.2

Subtrahiere $2 x h$ von $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 0 - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.20

Addiere $- x^{2} h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.21

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 0 - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.22

Addiere $- x^{2} h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.23

Faktorisiere $h$ aus $- x^{2} h - h^{2} x - 3 h$ heraus.

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Schritt 4.1.6.23.1

Faktorisiere $h$ aus $- x^{2} h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.23.2

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.23.3

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.23.4

Faktorisiere $h$ aus $h (- x^{2}) + h (- h x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.23.5

Faktorisiere $h$ aus $h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kombinieren.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h)}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- x^{2} - h x - 3$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} - h x - 3}{x (x + h)}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - h x - 3}{x (x + h)}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - (h x) - 3}{x (x + h)}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (h x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 3}{x (x + h)}$

Schritt 4.9

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 1 \cdot 3}{x (x + h)}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + h x) - 1 (3)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.11.1

Schreibe $- (x^{2} + h x + 3)$ als $- 1 (x^{2} + h x + 3)$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1 (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Schritt 4.11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{x}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x + h}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + h x + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Schritt 10

Ziehe den Term $x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Schritt 12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + 0}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 0 + 3}{x + 0}$

Schritt 15.1.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x + 0}$

Schritt 15.2

Addiere $x$ und $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$

Schritt 15.3

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$ .

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 3}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x \cdot x}$

Schritt 15.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x}$

Schritt 15.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x^{1}}$

Schritt 15.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1 + 1}}$

Schritt 15.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{2}}$

Schritt 16