Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ als ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

Schritt 4.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{x + h}$ und $b = \frac{1}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1

Um $\frac{1}{x + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + h}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4.1.5.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h) x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Addiere $x$ und $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Um $\frac{1}{x + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + h}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Schritt 4.1.5.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Schritt 4.1.5.8.3

Stelle die Faktoren von $(x + h) x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Schreibe $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10.3

Subtrahiere $h$ von $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (- 1 \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Schritt 4.1.7

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Schritt 4.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ mit $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Schritt 4.1.7.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.7.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.7.7

Potenziere $x + h$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

Schritt 4.1.7.8

Potenziere $x + h$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

Schritt 4.1.7.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Schritt 4.1.7.10

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ in den Zähler.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- (2 x + h) h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{x^{2}}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + 0)}^{2}}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{{(x + 0)}^{2}}$

Schritt 14.2

Addiere $x$ und $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 14.3.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 14.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 14.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $\frac{- 1}{x}$ mit $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{x \cdot x^{2}}$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x^{2}}$

Schritt 14.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2}{x^{1} x^{2}}$

Schritt 14.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2}{x^{1 + 2}}$

Schritt 14.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Schritt 14.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 15