Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) - 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h - 1}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{x + h}{x + h - 1}$ .

$\frac{x + h}{x + h - 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h - 1} - (\frac{x}{x - 1})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{x + h}{x + h - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{x}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h - 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x + h}{x + h - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 1}$ mit $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + h - 1)$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{(x + h) (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Multipliziere $(x + h) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x - 1) + h (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + h (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - 1 \cdot x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - 1 \cdot h - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.5

Schreibe $- 1 h$ als $- h$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x \cdot x - x h - x \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.4.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h - x \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4.2

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.5.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + 1 x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x + h x - h + 0 - x h + x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Addiere $- x$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x + h x - h - x h + x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Addiere $- x$ und $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x - h - x h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Addiere $h x - h - x h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x - h - x h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Subtrahiere $x h$ von $h x$ .

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Schritt 4.1.5.9.1

Stelle $h$ und $x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + x h - x h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9.2

Subtrahiere $x h$ von $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere $- h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ in den Zähler.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $\frac{1}{x - 1}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \frac{1}{x - 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h - 1}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h - 1}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h - 1}$

Schritt 5.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 1}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 1}$

Schritt 5.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 0 - 1}$

Schritt 7.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Schritt 7.2

Multipliziere $- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{1}{(x - 1) (x - 1)}$

Schritt 7.2.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1} (x - 1)}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}}$

Schritt 7.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8