Analysis Beispiele

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 1}{(x + h) + 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} - (\frac{x - 1}{x + 1})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{x - 1}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h + 1) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x + 1}$ mit $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{(x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h + 1) (x + 1)$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{(x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1) - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{(x + h - 1) (x + 1) - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Multipliziere $(x + h - 1) (x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.1.5.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 1$ und $- 1 x$ neu an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + 1 x + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Subtrahiere $1 x$ von $1 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 1 + 0 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Addiere $x \cdot x + h x + h \cdot 1$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 + (- x + 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 + (- x + 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Multipliziere $(- x + 1) (x + h + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x \cdot x - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.7.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.7.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.4

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{2} - x h - x + x + h + 1$ .

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Schritt 4.1.5.8.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h + 0 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8.2

Addiere $- x^{2} - x h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - 1 + 0 - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere $h x$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - 1 - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11

Subtrahiere $x h$ von $h x$ .

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Schritt 4.1.5.11.1

Stelle $h$ und $x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + x h - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11.2

Subtrahiere $x h$ von $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + 0 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12

Addiere $h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.13

Addiere $h$ und $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h - 1 + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.14

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.15

Addiere $2 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $h$ aus $2 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 2}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 2}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $\frac{2}{x + 1}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{2}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Schritt 7.2

Multipliziere $\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x + 1}$ mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1)}$

Schritt 7.2.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Schritt 7.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 8