Analysis Beispiele

$y = x^{2} + 5 x^{3}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Schritt 2.1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3}$

Schritt 2.1.2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3}$

Schritt 2.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3}$

Schritt 2.1.2.1.7

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3}$

Schritt 2.2.3

Bewege $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + x^{2}$

Schritt 2.2.4

Bewege $2 h x$ .

$h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 2 h x + x^{2}$

Schritt 2.2.5

Bewege $h^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Schritt 2.2.6

Bewege $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Schritt 2.2.7

Bewege $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Schritt 2.2.8

Stelle $15 h^{2} x$ und $5 h^{3}$ um.

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2} + 5 x^{3})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} - (5 x^{3})}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} - 5 x^{3}}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $5 x^{3}$ von $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} + 0}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $h$ aus $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $h$ aus $5 h^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $h$ aus $15 h^{2} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.7.3

Faktorisiere $h$ aus $15 h x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h^{2} + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.7.4

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.7.5

Faktorisiere $h$ aus $2 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.7.6

Faktorisiere $h$ aus $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.7.7

Faktorisiere $h$ aus $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.7.8

Faktorisiere $h$ aus $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h (h)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h) + h (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.7.9

Faktorisiere $h$ aus $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h) + h (2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} + h + 2 x$

Schritt 4.2.2.2

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} + 2 x + h$

Schritt 4.2.2.3

Bewege $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} + 2 x + h$

Schritt 4.2.2.4

Stelle $15 x h$ und $15 x^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} + 2 x + h$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $15 x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 7

Ziehe den Term $15 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 8

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x + 0$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Addiere $15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$ und $0$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Schritt 12.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1

Multipliziere $15 x \cdot 0$ .

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Schritt 12.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 + 2 x$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 + 2 x$

Schritt 12.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $15 x^{2} + 0 + 0 + 2 x$ .

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Schritt 12.3.1

Addiere $15 x^{2}$ und $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 2 x$

Schritt 12.3.2

Addiere $15 x^{2}$ und $0$ .

$15 x^{2} + 2 x$

Schritt 13