Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{2} + 1$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.6.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.2.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2.2

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$\frac{- 4 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.3

Subtrahiere $2 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{- 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- \frac{6 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$f' (x) = - \frac{6 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$

Schritt 1.1.2.2

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ und $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot {(x + 1)}^{2} (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot {(x - 1)}^{2} (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.5

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.8.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.5.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 6 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.1

Wende die Produktregel auf ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ an.

$- \frac{6 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 6 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 6 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.1

Faktorisiere $6 (x + 1) (x - 1)$ aus $6 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 6 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 6 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.1.1

Faktorisiere $6 (x + 1) (x - 1)$ aus $6 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 6 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 6 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.2

Faktorisiere $6 (x + 1) (x - 1)$ aus $6 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ heraus.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 6 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.3

Faktorisiere $6 (x + 1) (x - 1)$ aus $6 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ heraus.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.4

Faktorisiere $6 (x + 1) (x - 1)$ aus $6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ heraus.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.5

Faktorisiere $6 (x + 1) (x - 1)$ aus $6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ heraus.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.2

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.3.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.3.4.1

Bewege $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.3.7.1

Bewege $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.4.1

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.4.2

Addiere $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ und $0$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.5

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.5

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.9.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und ${(x + 1)}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.5.3.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ heraus.

$- \frac{(x + 1) ((6 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.5.3.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(x + 1) ((6 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.9.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(x + 1) ((6 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.9.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{(6 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und ${(x - 1)}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.5.4.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $6 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ heraus.

$- \frac{(x - 1) (6 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.5.4.2.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(x - 1) (6 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.9.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(x - 1) (6 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.9.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{6 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- \frac{6 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- \frac{6 (- (3 x^{2}) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$- \frac{6 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.9

Schreibe $- (3 x^{2} + 1)$ als $- 1 (3 x^{2} + 1)$ um.

$- \frac{6 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.12

Mutltipliziere $\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 (3 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (3 x^{2} + 1) = 0$ durch $6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (3 x^{2} + 1) = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 1.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 1.2.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} + 1$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{0}{6}$

Schritt 1.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.5.1

Schreibe $- \frac{1}{3}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.5.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.2.3.5.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.3.5.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.3.5.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.5.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.5.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.5.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 2.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 1}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 1}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 (3 {(- 4)}^{2} + 1)}{{((- 4) + 1)}^{3} {((- 4) - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 (3 \cdot 16 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 (48 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.3

Addiere $48$ und $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 \cdot 49}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 5)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 \cdot 49}{- 27 {(- 5)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 \cdot 49}{- 27 \cdot - 125}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $49$ .

$f'' (- 4) = \frac{294}{- 27 \cdot - 125}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 125$ .

$f'' (- 4) = \frac{294}{3375}$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $294$ und $3375$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $294$ heraus.

$f'' (- 4) = \frac{3 (98)}{3375}$

Schritt 4.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3375$ heraus.

$f'' (- 4) = \frac{3 \cdot 98}{3 \cdot 1125}$

Schritt 4.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 4) = \frac{3 \cdot 98}{3 \cdot 1125}$

Schritt 4.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 4) = \frac{98}{1125}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{98}{1125}$ .

$\frac{98}{1125}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 1)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 1, 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 (3 {(0)}^{2} + 1)}{{((0) + 1)}^{3} {((0) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 (3 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ heraus.

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{{(- 1 \cdot (0 - 1))}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Wende die Produktregel auf $- 1 \cdot (0 - 1)$ an.

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Schritt 5.2.2.6

Multipliziere ${(0 - 1)}^{3}$ mit ${(0 - 1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.6.1

Bewege ${(0 - 1)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Schritt 5.2.2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3 + 3}}$

Schritt 5.2.2.6.3

Addiere $3$ und $3$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{6}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{6}{- 1 {(- 1)}^{6}}$

Schritt 5.2.4.2

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f'' (0) = \frac{6}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{6}{- 1}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $6$ durch $- 1$ .

$f'' (0) = - 6$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 1, 1)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 1, 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{6 (3 {(4)}^{2} + 1)}{{((4) + 1)}^{3} {((4) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = \frac{6 (3 \cdot 16 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f'' (4) = \frac{6 (48 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $48$ und $1$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot 49}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $4$ und $1$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot 49}{5^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot 49}{5^{3} \cdot 3^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot 49}{125 \cdot 3^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot 49}{125 \cdot 27}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $49$ .

$f'' (4) = \frac{294}{125 \cdot 27}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $125$ mit $27$ .

$f'' (4) = \frac{294}{3375}$

Schritt 6.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $294$ und $3375$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $294$ heraus.

$f'' (4) = \frac{3 (98)}{3375}$

Schritt 6.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3375$ heraus.

$f'' (4) = \frac{3 \cdot 98}{3 \cdot 1125}$

Schritt 6.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (4) = \frac{3 \cdot 98}{3 \cdot 1125}$

Schritt 6.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (4) = \frac{98}{1125}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{98}{1125}$ .

$\frac{98}{1125}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(1, \infty)$ konvex, weil $f'' (4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 1, 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8