Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{7}{2 - 3 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{2 - 3 x}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 - 3 x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 - 3 x}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{2 - 3 x}$ als ${(2 - 3 x)}^{- 1}$ um.

$7 \frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 2 - 3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - 3 x$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 - 3 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 - 3 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - 3 x$ .

$7 (- {(2 - 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 - 3 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 ({(2 - 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 - 3 x])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- 7 {(2 - 3 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 7 {(2 - 3 x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- 7 {(2 - 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 {(2 - 3 x)}^{- 2} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 7$ .

$21 {(2 - 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$21 {(2 - 3 x)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $21$ mit $1$ .

$21 {(2 - 3 x)}^{- 2}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$21 \frac{1}{{(2 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $21$ und $\frac{1}{{(2 - 3 x)}^{2}}$ .

$\frac{21}{{(2 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{21}{{(- 3 x + 2)}^{2}}$