Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{9 - x^{2}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $\frac{1}{9 - x^{2}}$ als ${(9 - x^{2})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(9 - x^{2})}^{- 1})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Schritt 1.1.1.3.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Schritt 1.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.5

Multipliziere.

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Schritt 1.1.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 1 {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Mutltipliziere ${(9 - x^{2})}^{- 2}$ mit $1$ .

$f' (x) = {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = {(9 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.1.1.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(9 - x^{2})}^{- 2}$ .

$f' (x) = 2 \cdot ({(9 - x^{2})}^{- 2} x)$

Schritt 1.1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{{(9 - x^{2})}^{2}}) \cdot x$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.5.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(9 - x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(9 - x^{2})}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.1.5.1.2

Kombiniere $\frac{2}{{(9 - x^{2})}^{2}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(9 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(- x^{2} + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{({(- x^{2} + 9)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 9)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.3

Mutltipliziere ${(- x^{2} + 9)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = - x^{2} + 9$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Schritt 1.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Schritt 1.1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (2 (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Schritt 1.1.2.5.2

Faktorisiere $- x^{2} + 9$ aus ${(- x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 9])$ heraus.

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Schritt 1.1.2.5.2.1

Faktorisiere $- x^{2} + 9$ aus ${(- x^{2} + 9)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Schritt 1.1.2.5.2.2

Faktorisiere $- x^{2} + 9$ aus $- 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 9])$ heraus.

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) + (- x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Schritt 1.1.2.5.2.3

Faktorisiere $- x^{2} + 9$ aus $(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) + (- x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 9]))$ heraus.

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Schritt 1.1.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $- x^{2} + 9$ aus ${(- x^{2} + 9)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{(- x^{2} + 9) {(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{(- x^{2} + 9) {(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.11

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x + 0)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.12.1

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.12.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x \cdot x}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 (x \cdot x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 (x \cdot x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x^{1 + 1}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.16

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.17

Addiere $- x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{3 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.18

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.19

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.19.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.19.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 2 \cdot 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.19.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 x^{2} + 18 = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x^{2} = - 18$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x^{2} = - 18$ durch $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{- 18}{6}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{- 18}{6}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{6}$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Dividiere $- 18$ durch $6$ .

$x^{2} = - 3$

Schritt 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 1.2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 1.2.3.4.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 1.2.3.4.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{9 - x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{9 - x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$9 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 9$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 2.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 2.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 2.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 3, - 3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 3, - 3}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{6 {(- 6)}^{2} + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{6 \cdot 36 + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{216 + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.3

Addiere $216$ und $18$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 1 \cdot 36 + 9)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 36 + 9)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $- 36$ und $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 27)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $- 27$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{- 19683}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $234$ und $- 19683$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $234$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{9 (26)}{- 19683}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 19683$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 6) = \frac{26}{- 2187}$

Schritt 4.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 6) = - \frac{26}{2187}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{26}{2187}$ .

$- \frac{26}{2187}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 3)$ konkav, weil $f'' (- 6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 3, 3)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 {(0)}^{2} + 18}{{(- {(0)}^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 0 + 18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $0$ und $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(- 0 + 9)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 9)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $0$ und $9$ .

$f'' (0) = \frac{18}{9^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{729}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $729$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{729}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $729$ heraus.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 81}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 81}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{2}{81}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{81}$ .

$\frac{2}{81}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 3, 3)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 3, 3)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{6 {(6)}^{2} + 18}{{(- {(6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $6$ mit $6^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1.1

Potenziere $6$ mit $1$ .

$f'' (6) = \frac{6 \cdot 6^{2} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (6) = \frac{6^{1 + 2} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{3} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{216 + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $216$ und $18$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 1 \cdot 36 + 9)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 36 + 9)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $- 36$ und $9$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 27)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 27$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{234}{- 19683}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $234$ und $- 19683$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $234$ heraus.

$f'' (6) = \frac{9 (26)}{- 19683}$

Schritt 6.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 19683$ heraus.

$f'' (6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{26}{- 2187}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (6) = - \frac{26}{2187}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{26}{2187}$ .

$- \frac{26}{2187}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(3, \infty)$ konkav, weil $f'' (6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 3, 3)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8