Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x^{2} - 16}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 16})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2} - 16$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.5

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{- x^{2} - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 32) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{({(x^{2} - 16)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 16)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 32) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 32) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{2} - 32$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (- 32)) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.6

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.7

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 32) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 32) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 32) (2 (x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) (2 x))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 32) (2 \cdot ((x^{2} - 16) x))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} - 32) ((x^{2} - 16) x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) ((x^{2} - 16) x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} - 16)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.2

Schreibe ${(x^{2} - 16)}^{2}$ als $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} - 16) (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Bringe $- 16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.2

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $- 16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (- 32 x^{2}) - 4 \cdot 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 128 x^{2} - 4 \cdot 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $256$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 128 x^{2} - 1024) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x + 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} + 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 (x \cdot x^{2}) - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 (x \cdot x^{2}) - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{1 + 2} - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} - 4 \cdot - 32) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} + 128) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} + 128) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} + 128) (x^{2 + 1} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} + 128) (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11

Multipliziere $(8 x^{2} + 128) (x^{3} - 16 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{2} (x^{3} - 16 x) + 128 (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 16 x) + 128 (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 16 x) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (- 16 x) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (- 16 x) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (- 16 x) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 16 x^{2} x) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 16 (x \cdot x^{2})) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 16 (x \cdot x^{2})) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 16 x^{1 + 2}) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 16 x^{3}) + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} - 128 x^{3} + 128 x^{3} + 128 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $128$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} - 128 x^{3} + 128 x^{3} - 2048 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.2

Addiere $- 128 x^{3}$ und $128 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 0 - 2048 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.3

Addiere $8 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} - 2048 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.2

Addiere $- 4 x^{5}$ und $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 128 x^{3} - 1024 x - 2048 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.3

Subtrahiere $2048 x$ von $- 1024 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 128 x^{3} - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.4.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{5} + 128 x^{3} - 3072 x$ heraus.

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Schritt 1.1.2.5.4.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 128 x^{3} - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $128 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (32 x^{2}) - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $- 3072 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (32 x^{2}) + 4 x (- 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{4}) + 4 x (32 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 4 x (- 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 4 x (- 768)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} + 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} + 32 u - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4

Faktorisiere $u^{2} + 32 u - 768$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 768$ und deren Summe $32$ ist.

$- 16, 48$

Schritt 1.1.2.5.4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 16) (u + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.6

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.5.5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{((x + 4) (x - 4))}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 4) (x - 4)$ an.

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 4$ und ${(x + 4)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.6.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $4 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((4 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.6.2.1

Faktorisiere $x + 4$ aus ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((4 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((4 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(4 x (x - 4)) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 4$ und ${(x - 4)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.7.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $(4 x (x - 4)) (x^{2} + 48)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((4 x) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.7.2.1

Faktorisiere $x - 4$ aus ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((4 x) (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((4 x) (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(4 x) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x (x^{2} + 48) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 48 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3.3

Setze $x^{2} + 48$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $x^{2} + 48$ gleich $0$ .

$x^{2} + 48 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Löse $x^{2} + 48 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Subtrahiere $48$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 48$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 48}$

Schritt 1.2.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 48}$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.3.1

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (48)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{48}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.3.2.3.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (4 \sqrt{3})$

Schritt 1.2.3.3.2.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 4 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x^{2} + 48) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 16}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{x^{2} - 16}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 16$

Schritt 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4, - 4}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4, - 4}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 48)}{{((- 6) + 4)}^{3} {((- 6) - 4)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 6 + 4)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 6$ und $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 2)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 2)}^{3} {(- 10)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 48)}{- 8 {(- 10)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $- 10$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 48)}{- 8 \cdot - 1000}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 (36 + 48)}{- 8 \cdot - 1000}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $36$ und $48$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 \cdot 84}{- 8 \cdot - 1000}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1000$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 24 \cdot 84}{8000}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $84$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2016}{8000}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2016$ und $8000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.3.1

Faktorisiere $32$ aus $- 2016$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{32 (- 63)}{8000}$

Schritt 4.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.3.2.1

Faktorisiere $32$ aus $8000$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{32 \cdot - 63}{32 \cdot 250}$

Schritt 4.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 6) = \frac{32 \cdot - 63}{32 \cdot 250}$

Schritt 4.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 6) = \frac{- 63}{250}$

Schritt 4.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 6) = - \frac{63}{250}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{63}{250}$ .

$- \frac{63}{250}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 4)$ konkav, weil $f'' (- 6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 4, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 48)}{{((- 2) + 4)}^{3} {((- 2) - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 48)}{{(- 2 + 4)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 48)}{2^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 48)}{2^{3} {(- 6)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 48)}{8 {(- 6)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 48)}{8 \cdot - 216}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 (4 + 48)}{8 \cdot - 216}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $4$ und $48$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 \cdot 52}{8 \cdot - 216}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 216$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 8 \cdot 52}{- 1728}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $52$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 416}{- 1728}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 416$ und $- 1728$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $- 32$ aus $- 416$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 32 \cdot 13}{- 1728}$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.2.1

Faktorisiere $- 32$ aus $- 1728$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 32 \cdot 13}{- 32 \cdot 54}$

Schritt 5.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 2) = \frac{- 32 \cdot 13}{- 32 \cdot 54}$

Schritt 5.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 2) = \frac{13}{54}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{13}{54}$ .

$\frac{13}{54}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 4, 0)$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2) ({(2)}^{2} + 48)}{{((2) + 4)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 48)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 48)}{6^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 48)}{6^{3} {(- 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 48)}{216 {(- 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 48)}{216 \cdot - 8}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 (4 + 48)}{216 \cdot - 8}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $4$ und $48$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 52}{216 \cdot - 8}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $216$ mit $- 8$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 52}{- 1728}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $52$ .

$f'' (2) = \frac{416}{- 1728}$

Schritt 6.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $416$ und $- 1728$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.3.1

Faktorisiere $32$ aus $416$ heraus.

$f'' (2) = \frac{32 (13)}{- 1728}$

Schritt 6.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.3.2.1

Faktorisiere $32$ aus $- 1728$ heraus.

$f'' (2) = \frac{32 \cdot 13}{32 \cdot - 54}$

Schritt 6.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{32 \cdot 13}{32 \cdot - 54}$

Schritt 6.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{13}{- 54}$

Schritt 6.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (2) = - \frac{13}{54}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{13}{54}$ .

$- \frac{13}{54}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 4)$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{4 (6) ({(6)}^{2} + 48)}{{((6) + 4)}^{3} {((6) - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 48)}{{(6 + 4)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Addiere $6$ und $4$ .

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 48)}{10^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 48)}{10^{3} \cdot 2^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 48)}{1000 \cdot 2^{3}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 48)}{1000 \cdot 8}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{24 (36 + 48)}{1000 \cdot 8}$

Schritt 7.2.3.2

Addiere $36$ und $48$ .

$f'' (6) = \frac{24 \cdot 84}{1000 \cdot 8}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $1000$ mit $8$ .

$f'' (6) = \frac{24 \cdot 84}{8000}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $24$ mit $84$ .

$f'' (6) = \frac{2016}{8000}$

Schritt 7.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2016$ und $8000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.3.1

Faktorisiere $32$ aus $2016$ heraus.

$f'' (6) = \frac{32 (63)}{8000}$

Schritt 7.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.3.2.1

Faktorisiere $32$ aus $8000$ heraus.

$f'' (6) = \frac{32 \cdot 63}{32 \cdot 250}$

Schritt 7.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{32 \cdot 63}{32 \cdot 250}$

Schritt 7.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{63}{250}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{63}{250}$ .

$\frac{63}{250}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(4, \infty)$ konvex, weil $f'' (6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9