Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{4 x^{2} - 1}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{4 x^{2} - 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{4 x^{2} - 1})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 4 x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(4 x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.2

Mutltipliziere $4 x^{2} - 1$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.3.8.1

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.8.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - 8 x \cdot x}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.8

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{- 4 x^{2} - 1}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{- 4 x^{2} - 1}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- 4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (- 4 x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x^{2} - 2}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} - 2) - (- 8 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} - 2) - (- 8 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} - 2) - (- 8 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 8 x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 8 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 8 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 8 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 8 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x + 0) - (- 8 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.7

Addiere $- 16 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 4 x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 2) (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 2) (2 (4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 2) ((4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 2) ((4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 2) ((4 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 2) ((4 x^{2} - 1) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 2) ((4 x^{2} - 1) (8 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 2) ((4 x^{2} - 1) (8 x + 0))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.7.1

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 2) ((4 x^{2} - 1) (8 x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.7.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 2) (8 \cdot ((4 x^{2} - 1) x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.7.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) - 16 (- 8 x^{2} - 2) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 16 x) + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 16 {(4 x^{2} - 1)}^{2} x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.2

Schreibe ${(4 x^{2} - 1)}^{2}$ als $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 16 ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3

Multipliziere $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 16 (4 x^{2} (4 x^{2} - 1) - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 16 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 16 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 16 (4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 16 (4 \cdot (4 x^{2 + 2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (4 \cdot (4 x^{4}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (16 x^{4} - 8 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 16 (16 x^{4}) - 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 256 x^{4} - 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 256 x^{4} + 128 x^{2} - 16 \cdot 1) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 256 x^{4} + 128 x^{2} - 16) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{4} x + 128 x^{2} x - 16 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 (x \cdot x^{4}) + 128 x^{2} x - 16 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 (x \cdot x^{4}) + 128 x^{2} x - 16 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{1 + 4} + 128 x^{2} x - 16 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{2} x - 16 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 (x \cdot x^{2}) - 16 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 (x \cdot x^{2}) - 16 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{1 + 2} - 16 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + (128 x^{2} - 16 \cdot - 2) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + (128 x^{2} + 32) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + (128 x^{2} + 32) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + (128 x^{2} + 32) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + (128 x^{2} + 32) (4 x^{1 + 2} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + (128 x^{2} + 32) (4 x^{3} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + (128 x^{2} + 32) (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11

Multipliziere $(128 x^{2} + 32) (4 x^{3} - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 128 x^{2} (4 x^{3} - x) + 32 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 128 x^{2} (4 x^{3}) + 128 x^{2} (- x) + 32 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 128 x^{2} (4 x^{3}) + 128 x^{2} (- x) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 128 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 128 x^{2} (- x) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 128 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 128 x^{2} (- x) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 128 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 128 x^{2} (- x) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 128 \cdot (4 x^{5}) + 128 x^{2} (- x) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Mutltipliziere $128$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} + 128 x^{2} (- x) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} + 128 \cdot (- 1 x^{2} x) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} + 128 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} + 128 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} + 128 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} + 128 \cdot (- 1 x^{3}) + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.6

Mutltipliziere $128$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} - 128 x^{3} + 32 (4 x^{3}) + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} - 128 x^{3} + 128 x^{3} + 32 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} - 128 x^{3} + 128 x^{3} - 32 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.2

Addiere $- 128 x^{3}$ und $128 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} + 0 - 32 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.3

Addiere $512 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x + 512 x^{5} - 32 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.2

Addiere $- 256 x^{5}$ und $512 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{256 x^{5} + 128 x^{3} - 16 x - 32 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.3

Subtrahiere $32 x$ von $- 16 x$ .

$f'' (x) = \frac{256 x^{5} + 128 x^{3} - 48 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.4.1

Faktorisiere $16 x$ aus $256 x^{5} + 128 x^{3} - 48 x$ heraus.

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Schritt 1.1.2.5.4.1.1

Faktorisiere $16 x$ aus $256 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 x (16 x^{4}) + 128 x^{3} - 48 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.2

Faktorisiere $16 x$ aus $128 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 x (16 x^{4}) + 16 x (8 x^{2}) - 48 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.3

Faktorisiere $16 x$ aus $- 48 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 x (16 x^{4}) + 16 x (8 x^{2}) + 16 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.4

Faktorisiere $16 x$ aus $16 x (16 x^{4}) + 16 x (8 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 16 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.5

Faktorisiere $16 x$ aus $16 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 16 x (- 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 x (16 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{16 x (16 {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (16 u^{2} + 8 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.2.5.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 1.1.2.5.4.4.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 u$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 x (16 u^{2} + 8 (u) - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4.1.2

Schreibe $8$ um als $- 4$ plus $12$

$f'' (x) = \frac{16 x (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 x (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.5.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = \frac{16 x ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = \frac{16 x (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 x ((4 u - 1) (4 u + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.6

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{16 x (({(2 x)}^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{16 x (({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.5.5.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{16 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{16 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{((2 x + 1) (2 x - 1))}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.4

Wende die Produktregel auf $(2 x + 1) (2 x - 1)$ an.

$f'' (x) = \frac{16 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x + 1$ und ${(2 x + 1)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.6.1

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $16 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((16 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.6.2.1

Faktorisiere $2 x + 1$ aus ${(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((16 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((16 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(16 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x - 1$ und ${(2 x - 1)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.7.1

Faktorisiere $2 x - 1$ aus $(16 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((16 x) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.7.2.1

Faktorisiere $2 x - 1$ aus ${(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((16 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((16 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(16 x) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{16 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{16 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{16 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{16 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{16 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$16 x (4 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3.3

Setze $4 x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $4 x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Löse $4 x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = - 3$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 1.2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 1.2.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 1.2.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Schritt 1.2.3.3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.4.1

Schreibe $- \frac{3}{4}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.3.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.1.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.3

Kombiniere $\frac{i}{2}$ und $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.3.3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.3.3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.3.3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $16 x (4 x^{2} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{2 x}{4 x^{2} - 1}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{4 x^{2} - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 1$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{16 (- 3) (4 {(- 3)}^{2} + 3)}{{(2 (- 3) + 1)}^{3} {(2 (- 3) - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 (4 {(- 3)}^{2} + 3)}{{(2 (- 3) + 1)}^{3} {(2 (- 3) - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 (4 {(- 3)}^{2} + 3)}{{(- 6 + 1)}^{3} {(2 (- 3) - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 6$ und $1$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 (4 {(- 3)}^{2} + 3)}{{(- 5)}^{3} {(2 (- 3) - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 (4 {(- 3)}^{2} + 3)}{{(- 5)}^{3} {(- 6 - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $- 6$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 (4 {(- 3)}^{2} + 3)}{{(- 5)}^{3} {(- 7)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.5

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 (4 {(- 3)}^{2} + 3)}{- 125 {(- 7)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.6

Potenziere $- 7$ mit $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 (4 {(- 3)}^{2} + 3)}{- 125 \cdot - 343}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 (4 \cdot 9 + 3)}{- 125 \cdot - 343}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 (36 + 3)}{- 125 \cdot - 343}$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $36$ und $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 \cdot 39}{- 125 \cdot - 343}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 125$ mit $- 343$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 48 \cdot 39}{42875}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $- 48$ mit $39$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 1872}{42875}$

Schritt 4.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 3) = - \frac{1872}{42875}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1872}{42875}$ .

$- \frac{1872}{42875}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ konkav, weil $f'' (- 3)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{1}{2}, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = \frac{16 (- 0.25) (4 {(- 0.25)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.25) + 1)}^{3} {(2 (- 0.25) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = \frac{- 4 (4 {(- 0.25)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.25) + 1)}^{3} {(2 (- 0.25) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4 {(- 0.25)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.25) = \frac{- 13}{{(2 (- 0.25) + 1)}^{3} {(2 (- 0.25) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = \frac{- 13}{{(- 0.5 + 1)}^{3} {(2 (- 0.25) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 0.5$ und $1$ .

$f'' (- 0.25) = \frac{- 13}{{0.5}^{3} {(2 (- 0.25) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = \frac{- 13}{{0.5}^{3} {(- 0.5 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $- 0.5$ .

$f'' (- 0.25) = \frac{- 13}{{0.5}^{3} {(- 1.5)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$f'' (- 0.25) = \frac{- 13}{0.125 {(- 1.5)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.6

Potenziere $- 1.5$ mit $3$ .

$f'' (- 0.25) = \frac{- 13}{0.125 \cdot - 3.375}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $0.125$ mit $- 3.375$ .

$f'' (- 0.25) = \frac{- 13}{- 0.421875}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $- 13$ durch $- 0.421875$ .

$f'' (- 0.25) = 30.\overline{814}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $30.\overline{814}$ .

$30.\overline{814}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{1}{2}, 0)$ konvex, weil $f'' (- 0.25)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \frac{1}{2}, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \frac{1}{2})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.25$ .

$f'' (0.25) = \frac{16 (0.25) (4 {(0.25)}^{2} + 3)}{{(2 (0.25) + 1)}^{3} {(2 (0.25) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $16$ mit $0.25$ .

$f'' (0.25) = \frac{4 (4 \cdot {0.25}^{2} + 3)}{{(2 (0.25) + 1)}^{3} {(2 (0.25) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4 \cdot {0.25}^{2} + 3$ .

$f'' (0.25) = \frac{13}{{(2 (0.25) + 1)}^{3} {(2 (0.25) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.25$ .

$f'' (0.25) = \frac{13}{{(0.5 + 1)}^{3} {(2 (0.25) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0.5$ und $1$ .

$f'' (0.25) = \frac{13}{{1.5}^{3} {(2 (0.25) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.25$ .

$f'' (0.25) = \frac{13}{{1.5}^{3} {(0.5 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $0.5$ .

$f'' (0.25) = \frac{13}{{1.5}^{3} {(- 0.5)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $1.5$ mit $3$ .

$f'' (0.25) = \frac{13}{3.375 {(- 0.5)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.6

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$f'' (0.25) = \frac{13}{3.375 \cdot - 0.125}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $3.375$ mit $- 0.125$ .

$f'' (0.25) = \frac{13}{- 0.421875}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $13$ durch $- 0.421875$ .

$f'' (0.25) = - 30.\overline{814}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 30.\overline{814}$ .

$- 30.\overline{814}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \frac{1}{2})$ konkav, weil $f'' (0.25)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, \frac{1}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f'' (3) = \frac{16 (3) (4 {(3)}^{2} + 3)}{{(2 (3) + 1)}^{3} {(2 (3) - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$f'' (3) = \frac{48 (4 \cdot 3^{2} + 3)}{{(2 (3) + 1)}^{3} {(2 (3) - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (3) = \frac{48 (4 \cdot 3^{2} + 3)}{{(6 + 1)}^{3} {(2 (3) - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $6$ und $1$ .

$f'' (3) = \frac{48 (4 \cdot 3^{2} + 3)}{7^{3} {(2 (3) - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (3) = \frac{48 (4 \cdot 3^{2} + 3)}{7^{3} {(6 - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$f'' (3) = \frac{48 (4 \cdot 3^{2} + 3)}{7^{3} \cdot 5^{3}}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f'' (3) = \frac{48 (4 \cdot 3^{2} + 3)}{343 \cdot 5^{3}}$

Schritt 7.2.2.6

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f'' (3) = \frac{48 (4 \cdot 3^{2} + 3)}{343 \cdot 125}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (3) = \frac{48 (4 \cdot 9 + 3)}{343 \cdot 125}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f'' (3) = \frac{48 (36 + 3)}{343 \cdot 125}$

Schritt 7.2.3.3

Addiere $36$ und $3$ .

$f'' (3) = \frac{48 \cdot 39}{343 \cdot 125}$

Schritt 7.2.4

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $343$ mit $125$ .

$f'' (3) = \frac{48 \cdot 39}{42875}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $48$ mit $39$ .

$f'' (3) = \frac{1872}{42875}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{1872}{42875}$ .

$\frac{1872}{42875}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ konvex, weil $f'' (3)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- \frac{1}{2}, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, \frac{1}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9