Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\cot (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}]$

Schritt 2

Schreibe $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}]$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}]$

Schritt 3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = \csc (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 6

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 7

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 9

Addiere $1$ und $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 10

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Schritt 11

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))$

Schritt 12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}$

Schritt 13

Addiere $1$ und $2$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$- \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x)$