Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 x$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.9.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x)) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} - 4) (2 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 2) - 4 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 (x \cdot x))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8 x + 8 + 0 + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2.2

Addiere $- 2 x^{2} - 8 x + 8$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8 x + 8 + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 8 x + 8$ heraus.

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Schritt 1.1.1.3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) - 8 x + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1.3.4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 1.1.1.3.4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1.3.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.2.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 2)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ als ${({(x + 2)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 2)}^{2})}^{- 1})$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2 \cdot - 1})$

Schritt 1.1.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{- 2})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 2))$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 {(x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 4 ({(x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Schritt 1.1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (2))$

Schritt 1.1.2.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 1.1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2, - 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2, - 2}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{((- 4) + 2)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Addiere $- 4$ und $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{- 8}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f'' (- 4) = - \frac{4 (1)}{- 8}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 4) = - \frac{1}{- 2}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 4) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 2)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{{((0) + 2)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Addiere $0$ und $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{2^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{8}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{4 (1)}{8}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 2, 2)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 2, 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = - \frac{4}{{((4) + 2)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Addiere $4$ und $2$ .

$f'' (4) = - \frac{4}{6^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f'' (4) = - \frac{4}{216}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $216$ .

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f'' (4) = - \frac{4 (1)}{216}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $216$ heraus.

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 54}$

Schritt 6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 54}$

Schritt 6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (4) = - \frac{1}{54}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{54}$ .

$- \frac{1}{54}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(2, \infty)$ konkav, weil $f'' (4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 2, 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konkav im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8