Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 4$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((4 - x^{2}) x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.9

Multipliziere.

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Schritt 1.1.1.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.9.2

Mutltipliziere $x^{2} + 4$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) (2 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + 2 \cdot ((x^{2} + 4) x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.5.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.5.1.4.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.5.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x$ .

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Schritt 1.1.1.3.5.2.1

Addiere $- 2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 0 + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.3

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{16 x}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1.3.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{16 x}{{(- x^{2} + 2^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7.2

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2^{2} - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{((2 + x) (2 - x))}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7.4

Wende die Produktregel auf $(2 + x) (2 - x)$ an.

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.2

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere ${(2 + x)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(2 + x)}^{2}$ und $g (x) = {(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 - x)}^{2}) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 - x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 - x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 - x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 (2 - x) \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 + x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 \cdot ({(2 + x)}^{2} (2 - x)) \frac{d}{d x} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.6.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.6.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} (- x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.6.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (- \frac{d}{d x} x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} x + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \cdot 1 + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.6.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 + x$ .

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Schritt 1.1.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 + x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 + x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 (2 + x) \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 \cdot ({(2 - x)}^{2} (2 + x)) \frac{d}{d x} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.8.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.8.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \frac{d}{d x} (x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.8.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \cdot 1)}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.8.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.8.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.1.2.8.6.2

Kombiniere $16$ und $\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.9.1

Wende die Produktregel auf ${(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ an.

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)) - x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.1

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.1.1

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.2

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.3

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.4

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x)))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.5

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x)) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.1.2.9.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.1

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 (2 - x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x \cdot x + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 0 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 (x \cdot x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 x \cdot x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.9.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.9.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.9.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 x^{2}))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.9.4.4.1

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.4.2

Addiere $4 - x^{2} + 2 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.5

Addiere $- x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.6

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.9.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 + x)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.9.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{2 \cdot 2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 - x)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.9.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.9.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 + x$ und ${(2 + x)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.9.5.3.1

Faktorisiere $2 + x$ aus $16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.9.5.3.2.1

Faktorisiere $2 + x$ aus ${(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.9.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.9.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - x$ und ${(2 - x)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.9.5.4.1

Faktorisiere $2 - x$ aus $16 (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.9.5.4.2.1

Faktorisiere $2 - x$ aus ${(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.9.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.9.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$16 (4 + 3 x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $16 (4 + 3 x^{2}) = 0$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $16 (4 + 3 x^{2}) = 0$ durch $16$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{16} = \frac{0}{16}$

Schritt 1.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{16} = \frac{0}{16}$

Schritt 1.2.3.1.2.1.2

Dividiere $4 + 3 x^{2}$ durch $1$ .

$4 + 3 x^{2} = \frac{0}{16}$

Schritt 1.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $16$ .

$4 + 3 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - 4$

Schritt 1.2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Schritt 1.2.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

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Schritt 1.2.3.5.1

Schreibe $- \frac{4}{3}$ als $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ um.

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Schritt 1.2.3.5.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.4

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.5.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.6

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.2.3.5.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.3.5.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.3.5.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.3.5.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.5.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.5.8

Kombiniere $i$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 1.2.3.5.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 4$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2, - 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2, - 2}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 {(- 4)}^{2})}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 {(- 4)}^{2})}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 16)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 48)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $4$ und $48$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(2 + 4)}^{3}}$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} \cdot 6^{3}}$

Schritt 4.2.3.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{- 8 \cdot 6^{3}}$

Schritt 4.2.3.5

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{- 8 \cdot 216}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $16$ mit $52$ .

$f'' (- 4) = \frac{832}{- 8 \cdot 216}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $216$ .

$f'' (- 4) = \frac{832}{- 1728}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $832$ und $- 1728$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Faktorisiere $64$ aus $832$ heraus.

$f'' (- 4) = \frac{64 (13)}{- 1728}$

Schritt 4.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.3.2.1

Faktorisiere $64$ aus $- 1728$ heraus.

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Schritt 4.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Schritt 4.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 4) = \frac{13}{- 27}$

Schritt 4.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 4) = - \frac{13}{27}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{13}{27}$ .

$- \frac{13}{27}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 2)$ konkav, weil $f'' (- 4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 {(0)}^{2})}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Entferne die Klammern.

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 {(0)}^{2})}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 0)}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 0)}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 + 0)}^{3}}$

Schritt 5.2.3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} \cdot 2^{3}}$

Schritt 5.2.3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{8 \cdot 2^{3}}$

Schritt 5.2.3.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{8 \cdot 8}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$f'' (0) = \frac{64}{8 \cdot 8}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$f'' (0) = \frac{64}{64}$

Schritt 5.2.4.3

Dividiere $64$ durch $64$ .

$f'' (0) = 1$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 2, 2)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 2, 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 {(4)}^{2})}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 {(4)}^{2})}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 16)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 48)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $4$ und $48$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.3.3

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(- 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.3.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{216 {(- 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.3.5

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{216 \cdot - 8}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $16$ mit $52$ .

$f'' (4) = \frac{832}{216 \cdot - 8}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $216$ mit $- 8$ .

$f'' (4) = \frac{832}{- 1728}$

Schritt 6.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $832$ und $- 1728$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.3.1

Faktorisiere $64$ aus $832$ heraus.

$f'' (4) = \frac{64 (13)}{- 1728}$

Schritt 6.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.3.2.1

Faktorisiere $64$ aus $- 1728$ heraus.

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Schritt 6.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Schritt 6.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (4) = \frac{13}{- 27}$

Schritt 6.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (4) = - \frac{13}{27}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{13}{27}$ .

$- \frac{13}{27}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(2, \infty)$ konkav, weil $f'' (4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 2, 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8