Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 16) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.5

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 16) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.6.3.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.3.1.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 48 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.3.2

Subtrahiere $2 x^{4}$ von $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 48 x^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 48 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.6.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 48 x^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 48}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.4.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 48$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1.6.5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 4) (x - 4)$ an.

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 48)) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 48$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 48) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 48$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48)) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 48)) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (2 x) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.4.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 1.1.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + (x^{2} - 48) (2 x)) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 48$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 48) x)) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x + 4)}^{2}$ und $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 1.1.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 \cdot ({(x + 4)}^{2} (x - 4)) \frac{d}{d x} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + 0) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) \cdot 1 + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 1.1.2.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 (x + 4) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.10.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} (x + 4)) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + 0))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.10.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) \cdot 1)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.1

Wende die Produktregel auf ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ an.

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.1

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) (x + 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.2

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x (x + 4) + 4 (x + 4)) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4 x + 16) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.4

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) ((x - 4) (x - 4)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.5

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.11.5.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.6.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.6.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.6.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 8 x + 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.7

Multipliziere $(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 8 x + 16)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.8

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16$ .

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Schritt 1.1.2.11.5.8.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x^{2} (- 8 x)$ und $8 x \cdot x^{2}$ neu an.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 8 x^{2} x + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.8.2

Addiere $- 8 x^{2} x$ und $8 x^{2} x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 0 + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.8.3

Addiere $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.8.4

Ordne die Faktoren in den Termen $8 x \cdot 16$ und $16 (- 8 x)$ neu an.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 8 \cdot (16 x) + 16 x^{2} - 8 \cdot (16 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.8.5

Subtrahiere $8 \cdot 16 x$ von $8 \cdot 16 x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 0 + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.8.6

Addiere $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.11.5.9.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.11.5.9.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{(x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.9.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.9.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.9.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} + 8 \cdot (- 8 x \cdot x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.9.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.11.5.9.4.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} + 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.9.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} + 8 \cdot (- 8 x^{2}) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.9.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.9.6

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.10

Subtrahiere $64 x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 48 x^{2} + 16 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.11

Addiere $- 48 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.12.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.12.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.12.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.12.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 1.1.2.11.5.12.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.12.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 48$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{3} - 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.13

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (4 x^{3} - 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.14

Multipliziere $(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (4 x^{3} - 96 x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (4 x^{3}) + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.15.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 x^{4} x^{3} + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.15.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{4}) + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 4} + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.2.3

Addiere $3$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{4} x - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.4

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.15.4.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 (x \cdot x^{4}) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.15.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 1.1.2.11.5.15.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{1 + 4} - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.4.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 x^{2} x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.15.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 x^{3 + 2}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.6.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 x^{5}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.7

Mutltipliziere $- 32$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 x^{2} x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.9

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.15.9.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 (x \cdot x^{2})) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.15.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 1.1.2.11.5.15.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 x^{1 + 2}) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.9.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 x^{3}) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.10

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 96$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} + 3072 x^{3} + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.11

Mutltipliziere $4$ mit $256$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} + 3072 x^{3} + 1024 x^{3} + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.15.12

Mutltipliziere $- 96$ mit $256$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} + 3072 x^{3} + 1024 x^{3} - 24576 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.16

Subtrahiere $128 x^{5}$ von $- 96 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 3072 x^{3} + 1024 x^{3} - 24576 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.17

Addiere $3072 x^{3}$ und $1024 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.18

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.18.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.18.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.18.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{2 + 2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.18.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.18.2

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.1

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 ((x + 4) (x + 4)) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.2

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.11.5.19.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + 8 x + 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) ((2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) ((2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) ((2 x^{2} + 16 x + 32) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.6

Multipliziere $(2 x^{2} + 16 x + 32) (x - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.7.5

Mutltipliziere $32$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 32 x - 128 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.8

Addiere $- 8 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 64 x + 32 x - 128 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.9

Addiere $- 64 x$ und $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.10

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 ((x - 4) (x - 4)) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.11

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.12.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.12.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.12.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.12.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} - 8 x + 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.13

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.14

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.14.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + (2 x^{2} - 16 x + 32) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.15

Multipliziere $(2 x^{2} - 16 x + 32) (x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.16

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 (x \cdot x) - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x^{2} - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x^{2} - 64 x + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.16.5

Mutltipliziere $32$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x^{2} - 64 x + 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.17

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x + 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.19.18

Addiere $- 64 x$ und $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.20

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x + 128$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.20.1

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 0 - 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.20.2

Addiere $2 x^{3} - 32 x - 128 + 2 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.20.3

Addiere $- 128$ und $128$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x + 2 x^{3} - 32 x + 0)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.20.4

Addiere $2 x^{3} - 32 x + 2 x^{3} - 32 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x + 2 x^{3} - 32 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.21

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (4 x^{3} - 32 x - 32 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.22

Subtrahiere $32 x$ von $- 32 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (4 x^{3} - 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.23

Multipliziere $(- x^{4} + 48 x^{2}) (4 x^{3} - 64 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - x^{4} (4 x^{3} - 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3} - 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.23.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - x^{4} (4 x^{3}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3} - 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.23.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - x^{4} (4 x^{3}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.5.24.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.11.5.24.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 x^{4} x^{3}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.11.5.24.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 (x^{3} x^{4})) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 x^{3 + 4}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.2.3

Addiere $3$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 x^{7}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 x^{4} x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.5

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.11.5.24.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 (x \cdot x^{4})) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.11.5.24.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 (x \cdot x^{4})) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 x^{1 + 4}) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.5.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 x^{5}) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 64$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.11.5.24.1.8.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.8.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 x^{5}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.9

Mutltipliziere $48$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 x^{2} x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.11

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.11.5.24.1.11.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 (x \cdot x^{2}))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.11.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.11.5.24.1.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 (x \cdot x^{2}))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 x^{1 + 2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.11.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 x^{3})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.1.12

Mutltipliziere $48$ mit $- 64$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.24.2

Addiere $64 x^{5}$ und $192 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 256 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.25

Subtrahiere $4 x^{7}$ von $4 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + 0 + 256 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.26

Addiere $- 224 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + 256 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.27

Addiere $- 224 x^{5}$ und $256 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.28

Subtrahiere $3072 x^{3}$ von $4096 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x^{5} + 1024 x^{3} - 24576 x}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29

Schreibe $32 x^{5} + 1024 x^{3} - 24576 x$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.1.2.11.5.29.1

Faktorisiere $32 x$ aus $32 x^{5} + 1024 x^{3} - 24576 x$ heraus.

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Schritt 1.1.2.11.5.29.1.1

Faktorisiere $32 x$ aus $32 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4}) + 1024 x^{3} - 24576 x}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29.1.2

Faktorisiere $32 x$ aus $1024 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4}) + 32 x (32 x^{2}) - 24576 x}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29.1.3

Faktorisiere $32 x$ aus $- 24576 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4}) + 32 x (32 x^{2}) + 32 x (- 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29.1.4

Faktorisiere $32 x$ aus $32 x (x^{4}) + 32 x (32 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 32 x (- 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29.1.5

Faktorisiere $32 x$ aus $32 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 32 x (- 768)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4} + 32 x^{2} - 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{32 x ({(x^{2})}^{2} + 32 x^{2} - 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29.3

Es sei $u_{3} = x^{2}$ . Ersetze $u_{3}$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x ({u_{3}}^{2} + 32 u_{3} - 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29.4

Faktorisiere ${u_{3}}^{2} + 32 u_{3} - 768$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.2.11.5.29.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 768$ und deren Summe $32$ ist.

$- 16, 48$

Schritt 1.1.2.11.5.29.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = \frac{32 x ((u_{3} - 16) (u_{3} + 48))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29.5

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 48))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29.6

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{32 x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 48))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.5.29.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.6

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.11.6.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.11.6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.11.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.11.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 4$ und ${(x + 4)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.11.6.3.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((32 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.11.6.3.2.1

Faktorisiere $x + 4$ aus ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((32 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.11.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((32 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.11.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(32 x (x - 4)) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 4$ und ${(x - 4)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.11.6.4.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $32 x (x - 4) (x^{2} + 48)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (32 x (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.6.4.2.1

Faktorisiere $x - 4$ aus ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (32 x (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.11.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (32 x (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.11.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$32 x (x^{2} + 48) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 48 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3.3

Setze $x^{2} + 48$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $x^{2} + 48$ gleich $0$ .

$x^{2} + 48 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Löse $x^{2} + 48 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Subtrahiere $48$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 48$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 48}$

Schritt 1.2.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 48}$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.3.1

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (48)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{48}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.3.2.3.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (4 \sqrt{3})$

Schritt 1.2.3.3.2.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 4 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $32 x (x^{2} + 48) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 16$

Schritt 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4, - 4}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4, - 4}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{32 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 48)}{{((- 6) + 4)}^{3} {((- 6) - 4)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $32$ mit $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 6 + 4)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 6$ und $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 2)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 2)}^{3} {(- 10)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{- 8 {(- 10)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $- 10$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{- 8 \cdot - 1000}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 (36 + 48)}{- 8 \cdot - 1000}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $36$ und $48$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 \cdot 84}{- 8 \cdot - 1000}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1000$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 192 \cdot 84}{8000}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $- 192$ mit $84$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 16128}{8000}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16128$ und $8000$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Faktorisiere $64$ aus $- 16128$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{64 (- 252)}{8000}$

Schritt 4.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.3.2.1

Faktorisiere $64$ aus $8000$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{64 \cdot - 252}{64 \cdot 125}$

Schritt 4.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 6) = \frac{64 \cdot - 252}{64 \cdot 125}$

Schritt 4.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 6) = \frac{- 252}{125}$

Schritt 4.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 6) = - \frac{252}{125}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{252}{125}$ .

$- \frac{252}{125}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 4)$ konkav, weil $f'' (- 6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 4, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{32 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 48)}{{((- 2) + 4)}^{3} {((- 2) - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $32$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{{(- 2 + 4)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{2^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{2^{3} {(- 6)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{8 {(- 6)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{8 \cdot - 216}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 (4 + 48)}{8 \cdot - 216}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $4$ und $48$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{8 \cdot - 216}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 216$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 1728}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $52$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 3328}{- 1728}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3328$ und $- 1728$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $- 64$ aus $- 3328$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 1728}$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.3.2.1

Faktorisiere $- 64$ aus $- 1728$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 64 \cdot 27}$

Schritt 5.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 64 \cdot 27}$

Schritt 5.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 2) = \frac{52}{27}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{52}{27}$ .

$\frac{52}{27}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 4, 0)$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{32 (2) ({(2)}^{2} + 48)}{{((2) + 4)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $32$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{6^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{6^{3} {(- 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{216 {(- 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{216 \cdot - 8}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{64 (4 + 48)}{216 \cdot - 8}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $4$ und $48$ .

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{216 \cdot - 8}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $216$ mit $- 8$ .

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{- 1728}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $64$ mit $52$ .

$f'' (2) = \frac{3328}{- 1728}$

Schritt 6.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3328$ und $- 1728$ .

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Schritt 6.2.4.3.1

Faktorisiere $64$ aus $3328$ heraus.

$f'' (2) = \frac{64 (52)}{- 1728}$

Schritt 6.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.3.2.1

Faktorisiere $64$ aus $- 1728$ heraus.

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{64 \cdot - 27}$

Schritt 6.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{64 \cdot - 27}$

Schritt 6.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{52}{- 27}$

Schritt 6.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (2) = - \frac{52}{27}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{52}{27}$ .

$- \frac{52}{27}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 4)$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{32 (6) ({(6)}^{2} + 48)}{{((6) + 4)}^{3} {((6) - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $32$ mit $6$ .

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{{(6 + 4)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Addiere $6$ und $4$ .

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{10^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{10^{3} \cdot 2^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{1000 \cdot 2^{3}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{1000 \cdot 8}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{192 (36 + 48)}{1000 \cdot 8}$

Schritt 7.2.3.2

Addiere $36$ und $48$ .

$f'' (6) = \frac{192 \cdot 84}{1000 \cdot 8}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $1000$ mit $8$ .

$f'' (6) = \frac{192 \cdot 84}{8000}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $192$ mit $84$ .

$f'' (6) = \frac{16128}{8000}$

Schritt 7.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16128$ und $8000$ .

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Schritt 7.2.4.3.1

Faktorisiere $64$ aus $16128$ heraus.

$f'' (6) = \frac{64 (252)}{8000}$

Schritt 7.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.3.2.1

Faktorisiere $64$ aus $8000$ heraus.

$f'' (6) = \frac{64 \cdot 252}{64 \cdot 125}$

Schritt 7.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{64 \cdot 252}{64 \cdot 125}$

Schritt 7.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{252}{125}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{252}{125}$ .

$\frac{252}{125}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(4, \infty)$ konvex, weil $f'' (6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9