Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.1.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{5}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 1.1.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 5$ .

$- 4 (- 5 x^{- 6})$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$20 x^{- 6}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{6}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{20}{x^{6}}$ .

$\frac{20}{x^{6}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{20}{x^{6}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{20}{x^{6}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$20 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $20 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{20}{{(- 2)}^{6}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 2$ mit $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{20}{64}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $64$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{4 (5)}{64}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 2) = \frac{5}{16}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 0)$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{20}{{(2)}^{6}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$f'' (2) = \frac{20}{64}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $64$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f'' (2) = \frac{4 (5)}{64}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{5}{16}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \infty)$ konvex, weil $f'' (2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7