Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ als ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ um.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Schritt 1.1.1.3.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Schritt 1.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Schritt 1.1.1.3.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Schritt 1.1.1.3.7

Addiere $2 x - 6$ und $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Schritt 1.1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 x - 6)$

Schritt 1.1.1.5

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ um.

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [(2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 6) (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}))$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 x - 6$ und $g (x) = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.3.1

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ als ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.5.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.5.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.5.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + 0)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.5.7

Addiere $2 x - 6$ und $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.6

Potenziere $2 x - 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.7

Potenziere $2 x - 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{1 + 1} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Schritt 1.1.2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Schritt 1.1.2.11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Schritt 1.1.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Schritt 1.1.2.13

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Schritt 1.1.2.14

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

Schritt 1.1.2.15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.15.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot 2)$

Schritt 1.1.2.15.2

Kombiniere $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ und $2$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.16

Um $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.17

Kombiniere $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ und $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (\frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.19

Multipliziere ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}$ mit ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.19.1

Bewege ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}) {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 - 3} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.19.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.20.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.20.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.2.20.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 7, 1$

Schritt 1.1.2.20.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.4

Schreibe ${(2 x - 6)}^{2}$ als $(2 x - 6) (2 x - 6)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot ((2 x - 6) (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.5

Multipliziere $(2 x - 6) (2 x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.20.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.20.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.20.2.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.20.2.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.6.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.6.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.6.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.6.2

Subtrahiere $12 x$ von $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 24 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2}) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.20.2.8.1

Multipliziere $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (4 x^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.20.2.8.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8.1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8.1.4

Kombiniere $\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8.2

Multipliziere $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (- 24 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.20.2.8.2.1

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 24 (\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}) \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8.2.2

Kombiniere $24$ und $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{24 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8.2.3

Mutltipliziere $24$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8.2.4

Kombiniere $\frac{48}{(x - 7) (x + 1)}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8.3

Multipliziere $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.20.2.8.3.1

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - 36 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8.3.2

Kombiniere $- 36$ und $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 36 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.8.3.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.20.2.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{(8) x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.2.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.20.3.1

Mutltipliziere $\frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ mit $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - (\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)} \cdot \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.20.3.2

Kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (\frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x - 7) (x + 1)$ .

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Schritt 1.1.2.20.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.1.2.20.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.20.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- (x - 7) (x + 1) \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x - 7) (x + 1)$ .

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Schritt 1.1.2.20.4.2.1

Faktorisiere $(x - 7) (x + 1)$ aus $- (x - 7) (x + 1)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - (x - 7) (x + 1) \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x - 7) (x + 1)$ .

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Schritt 1.1.2.20.4.5.1

Faktorisiere $(x - 7) (x + 1)$ aus $- (x - 7) (x + 1)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 1 \cdot 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x + 2 \cdot - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x - 14) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.9

Multipliziere $(2 x - 14) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.20.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x (x + 1) - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.20.4.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.20.4.10.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.20.4.10.1.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.10.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.10.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.10.1.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.10.2

Subtrahiere $14 x$ von $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.11

Addiere $- 8 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 48 x - 72 - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.12

Subtrahiere $12 x$ von $48 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 72 - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.13

Subtrahiere $14$ von $- 72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.14

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2} + 36 x - 86$ heraus.

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Schritt 1.1.2.20.4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.14.2

Faktorisiere $2$ aus $36 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.14.3

Faktorisiere $2$ aus $- 86$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.14.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.4.14.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.20.5.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.2.20.5.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 7, 1$

Schritt 1.1.2.20.5.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {((x - 7) (x + 1))}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.5.2

Wende die Produktregel auf $(x - 7) (x + 1)$ an.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.5.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.1.2.20.5.3.1

Multipliziere $x - 7$ mit ${(x - 7)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.20.5.3.1.1

Bewege ${(x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.5.3.1.2

Mutltipliziere ${(x - 7)}^{2}$ mit $x - 7$ .

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Schritt 1.1.2.20.5.3.1.2.1

Potenziere $x - 7$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.5.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2 + 1} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.5.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.20.5.3.2

Multipliziere $x + 1$ mit ${(x + 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.20.5.3.2.1

Bewege ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Schritt 1.1.2.20.5.3.2.2

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $x + 1$ .

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Schritt 1.1.2.20.5.3.2.2.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Schritt 1.1.2.20.5.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{2 + 1}}$

Schritt 1.1.2.20.5.3.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.20.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.20.7

Faktorisiere $- 1$ aus $18 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - (- 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.20.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 18 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.20.9

Schreibe $- 43$ als $- 1 (43)$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 1 \cdot 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.20.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 18 x) - 1 (43)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.20.11

Schreibe $- (3 x^{2} - 18 x + 43)$ als $- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43)$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.20.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.20.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.20.14

Mutltipliziere $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 18 x + 43$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3.3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 18$ und $c = 43$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 43)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.4.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.1.3

Subtrahiere $516$ von $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.1.4

Schreibe $- 192$ als $- 1 (192)$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (192)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.1.7

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.4.1.7.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.1.7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 1.2.3.4.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.5.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

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Schritt 1.2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.1.3

Subtrahiere $516$ von $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.1.4

Schreibe $- 192$ als $- 1 (192)$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (192)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.1.7

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.5.1.7.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.1.7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 1.2.3.5.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.6.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

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Schritt 1.2.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.1.3

Subtrahiere $516$ von $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.1.4

Schreibe $- 192$ als $- 1 (192)$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (192)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.1.7

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.6.1.7.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.1.7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 1.2.3.6.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}, \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 7, 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Schritt 2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 1$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1, 7}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1, 7}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} - 18 \cdot - 4 + 43)}{{((- 4) - 7)}^{3} {((- 4) + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 72 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.4

Addiere $48$ und $72$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (120 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.5

Addiere $120$ und $43$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $7$ von $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 3)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $- 11$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 {(- 3)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 \cdot - 27}$

Schritt 4.2.3

Multipliziere.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $163$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{- 1331 \cdot - 27}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $- 1331$ mit $- 27$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{35937}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 1)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 1, 7)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 43)}{{((0) - 7)}^{3} {((0) + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.4

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $0$ und $43$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} \cdot 1^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $- 7$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $43$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 343$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343}$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = - \frac{86}{343}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{86}{343}$ .

$- \frac{86}{343}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 1, 7)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 1, 7)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(7, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 {(10)}^{2} - 18 \cdot 10 + 43)}{{((10) - 7)}^{3} {((10) + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $10$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 180 + 43)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 180$ und $43$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 137)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Convert $- 137$ to scientific notation.

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.4

Faktorisiere $10^{2}$ aus $3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2}$ heraus.

$f'' (10) = \frac{2 ((3 - 1.37) \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.5

Subtrahiere $1.37$ von $3$ .

$f'' (10) = \frac{2 \cdot 1.63 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $1.63$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.7

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $7$ von $10$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $10$ und $1$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} \cdot 11^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 11^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $11$ mit $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 1331}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $3.26$ mit $100$ .

$f'' (10) = \frac{326}{27 \cdot 1331}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $27$ mit $1331$ .

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Schritt 6.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $326$ und $35937$ .

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Schritt 6.2.3.3.1

Schreibe $326$ als $1 (326)$ um.

$f'' (10) = \frac{1 (326)}{35937}$

Schritt 6.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.3.2.1

Schreibe $35937$ als $1 (35937)$ um.

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Schritt 6.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Schritt 6.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(7, \infty)$ konvex, weil $f'' (10)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(7, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 1, 7)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(7, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8