Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ und $g (x) = x + 6$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} (x + 6) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} (1 + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{5}}$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 1.1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Schritt 1.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 1.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Schritt 1.1.1.6.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Schritt 1.1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Schritt 1.1.1.8

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Schritt 1.1.1.9

Bringe $x^{- \frac{4}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.1.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + x (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 6 (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.1.10.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.10.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + \frac{x}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 6 (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.1.10.2.2

Bringe $x^{\frac{4}{5}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 6 (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.1.10.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{4}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.10.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{4}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.10.2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 6 (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.1.10.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{1 - \frac{4}{5}}}{5} + 6 (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.1.10.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 6 (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.1.10.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{5 - 4}{5}}}{5} + 6 (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.1.10.2.3.4

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + 6 (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.1.10.2.4

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 1.1.1.10.2.5

Um $x^{\frac{1}{5}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 1.1.1.10.2.6

Kombiniere $x^{\frac{1}{5}}$ und $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 1.1.1.10.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 1.1.1.10.2.8

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{5 \cdot x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 1.1.1.10.2.9

Addiere $5 x^{\frac{1}{5}}$ und $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Da $\frac{6}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5} \cdot (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5} \cdot (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5} \cdot (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{6}{5} \cdot (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5} \cdot (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.6.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5} \cdot (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6}{5} \cdot (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5} \cdot \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{- \frac{4}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{- \frac{4}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.2.11

Bringe $x^{- \frac{4}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} (\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Da $\frac{6}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ nach $x$ gleich $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 1.1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ als ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1})$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{4}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}}))$

Schritt 1.1.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}})$

Schritt 1.1.2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}})$

Schritt 1.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Schritt 1.1.2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{\frac{4}{5} \cdot - 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Multipliziere $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Schritt 1.1.2.3.5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{\frac{- 8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Schritt 1.1.2.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Schritt 1.1.2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Schritt 1.1.2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Schritt 1.1.2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Schritt 1.1.2.3.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}))$

Schritt 1.1.2.3.9.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}))$

Schritt 1.1.2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}))$

Schritt 1.1.2.3.11

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5})$

Schritt 1.1.2.3.12

Kombiniere $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ und $x^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{1}{5}} x^{- \frac{8}{5}}}{5})$

Schritt 1.1.2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{5}}$ mit $x^{- \frac{8}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.13.1

Bewege $x^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{5}} x^{- \frac{1}{5}})}{5})$

Schritt 1.1.2.3.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{8}{5} - \frac{1}{5}}}{5})$

Schritt 1.1.2.3.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- \frac{4 x^{\frac{- 8 - 1}{5}}}{5})$

Schritt 1.1.2.3.13.4

Subtrahiere $1$ von $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- \frac{4 x^{\frac{- 9}{5}}}{5})$

Schritt 1.1.2.3.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{9}{5}}}{5})$

Schritt 1.1.2.3.14

Bringe $x^{- \frac{9}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \cdot (- \frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}})$

Schritt 1.1.2.3.15

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{6 \cdot 4}{5 (5 x^{\frac{9}{5}})}$

Schritt 1.1.2.3.16

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 (5 x^{\frac{9}{5}})}$

Schritt 1.1.2.3.17

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$25 x^{\frac{4}{5}}, 25 x^{\frac{9}{5}}, 1$

Schritt 1.2.2.2

Since $25 x^{\frac{4}{5}}, 25 x^{\frac{9}{5}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $25, 25, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{4}{5}}, x^{\frac{9}{5}}$ .

Schritt 1.2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.2.2.4

$25$ hat Faktoren von $5$ und $5$ .

$5 \cdot 5$

Schritt 1.2.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.2.6

Das kgV von $25, 25, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$5 \cdot 5$

Schritt 1.2.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25$

Schritt 1.2.2.8

Das kgV von $x^{\frac{4}{5}}, x^{\frac{9}{5}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{9}{5}}$

Schritt 1.2.2.9

Das kgV von $25 x^{\frac{4}{5}}, 25 x^{\frac{9}{5}}, 1$ ist der numerische Teil $25$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$25 x^{\frac{9}{5}}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$ mit $25 x^{\frac{9}{5}}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$ mit $25 x^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{9}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{9}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{9}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{4}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.3.1

Faktorisiere $x^{\frac{4}{5}}$ aus $x^{\frac{9}{5}}$ heraus.

$\frac{6}{x^{\frac{4}{5}}} (x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{5}{5}}) - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{x^{\frac{4}{5}}} (x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{5}{5}}) - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{\frac{5}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4

Dividiere $5$ durch $5$ .

$6 x^{1} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2.1.5

Vereinfache.

$6 x - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25 x^{\frac{9}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ in den Zähler.

$6 x + \frac{- 24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x + \frac{- 24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$6 x - 24 = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Multipliziere $0 (25 x^{\frac{9}{5}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $25$ mit $0$ .

$6 x - 24 = 0 x^{\frac{9}{5}}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{9}{5}}$ .

$6 x - 24 = 0$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 24$

Schritt 1.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 24$ durch $6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 24$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Schritt 1.2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Schritt 1.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.3.1

Dividiere $24$ durch $6$ .

$x = 4$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt[5]{x^{1}} (x + 6)$

Schritt 2.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\sqrt[5]{x} (x + 6)$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{6}{25 {(0)}^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$f'' (0) = \frac{6}{25 {(0^{5})}^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{6}{25 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{6}{25 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{6}{25 \cdot 0^{4}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{6}{25 \cdot 0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $25$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{6}{0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 4.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f'' (0) = Undefined$

$f'' (0) = \frac{6}{0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 4.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f'' (0) = Undefined$

Schritt 4.6

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 4)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{6}{25 {(6)}^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 {(6)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Bringe ${(6)}^{\frac{4}{5}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f'' (6) = \frac{6 \cdot 6^{- \frac{4}{5}}}{25} - \frac{24}{25 {(6)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $6$ mit $6^{- \frac{4}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $6^{- \frac{4}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1.1

Potenziere $6$ mit $1$ .

$f'' (6) = \frac{6 \cdot 6^{- \frac{4}{5}}}{25} - \frac{24}{25 {(6)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (6) = \frac{6^{1 - \frac{4}{5}}}{25} - \frac{24}{25 {(6)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 5.2.1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (6) = \frac{6^{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}}{25} - \frac{24}{25 {(6)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 5.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (6) = \frac{6^{\frac{5 - 4}{5}}}{25} - \frac{24}{25 {(6)}^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 5.2.1.2.4

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f'' (6) = \frac{6^{\frac{1}{5}}}{25} - \frac{24}{25 {(6)}^{\frac{9}{5}}}$

$f'' (6) = \frac{6^{\frac{1}{5}}}{25} - \frac{24}{25 \cdot 6^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{6^{\frac{1}{5}}}{25} - \frac{24}{25 \cdot 6^{\frac{9}{5}}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{5}}}{25} - \frac{24}{25 \cdot 6^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(4, \infty)$ konvex, weil $f'' (6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7