Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{5}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} (2 x)$

Schritt 1.1.1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{5} x$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1

Faktorisiere $x {(x + 3)}^{4}$ aus $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 {(x + 3)}^{5} x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.4.1.1

Faktorisiere $x {(x + 3)}^{4}$ aus $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4})$ heraus.

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 2 {(x + 3)}^{5} x$

Schritt 1.1.1.4.1.2

Faktorisiere $x {(x + 3)}^{4}$ aus $2 {(x + 3)}^{5} x$ heraus.

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$

Schritt 1.1.1.4.1.3

Faktorisiere $x {(x + 3)}^{4}$ aus $x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$ heraus.

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5) + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.1.4.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 2 \cdot 3)]$

Schritt 1.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 6)]$

Schritt 1.1.2.1.2

Addiere $5 x$ und $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (7 x + 6)]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x {(x + 3)}^{4}$ und $g (x) = 7 x + 6$ .

$x {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x + 6] + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Schritt 1.1.2.3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Schritt 1.1.2.3.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Schritt 1.1.2.3.5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + 0) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Schritt 1.1.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.6.1

Addiere $7$ und $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} \cdot 7 + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Schritt 1.1.2.3.6.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x {(x + 3)}^{4}$ .

$7 \cdot (x {(x + 3)}^{4}) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x + 3)}^{4}$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}] + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.6.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.6.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \cdot 1)$

Schritt 1.1.2.6.6

Mutltipliziere ${(x + 3)}^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Multipliziere $(7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Schritt 1.2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Schritt 1.2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.1.3.1.1

Bewege $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 (x \cdot x) (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 1.2.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x^{2} (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 1.2.2.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 \cdot 4 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 1.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 1.2.2.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $7 x {(x + 3)}^{4}$ und $7 x {(x + 3)}^{4}$ .

$14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $2 {(x + 3)}^{3}$ aus $14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4}$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1.1

Faktorisiere $2 {(x + 3)}^{3}$ aus $14 x {(x + 3)}^{4}$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Faktorisiere $2 {(x + 3)}^{3}$ aus $28 x^{2} {(x + 3)}^{3}$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Faktorisiere $2 {(x + 3)}^{3}$ aus $24 x {(x + 3)}^{3}$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 1.2.3.1.4

Faktorisiere $2 {(x + 3)}^{3}$ aus $6 {(x + 3)}^{4}$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.1.5

Faktorisiere $2 {(x + 3)}^{3}$ aus $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2})$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.1.6

Faktorisiere $2 {(x + 3)}^{3}$ aus $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x)$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.1.7

Faktorisiere $2 {(x + 3)}^{3}$ aus $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3))$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (x + 3) + 14 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $7 x$ aus $14 x^{2}$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 7 x (2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (x + 3) + 7 x (2 x)$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3 + 2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.3

Addiere $x$ und $2 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 x + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3$ heraus.

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Schritt 1.2.3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3 (1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (1)$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x \cdot (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.6

Faktorisiere $3$ aus $12 x + 3 (x + 3)$ heraus.

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Schritt 1.2.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x) + 3 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.6.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x) + 3 (x + 3)$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x + x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.7

Addiere $4 x$ und $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.8

Faktorisiere $3$ aus $21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)$ heraus.

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Schritt 1.2.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $21 x (x + 1)$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.8.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)$ heraus.

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1) + 5 x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x \cdot x + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.10

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.10.1

Bewege $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.11

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x + 5 x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.12

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.12.1

Addiere $7 x$ und $5 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 {(x + 3)}^{3} \cdot (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.3.13

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.5

Setze ${(x + 3)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze ${(x + 3)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse ${(x + 3)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.6

Setze $7 x^{2} + 12 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Setze $7 x^{2} + 12 x + 3$ gleich $0$ .

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 7$ , $b = 12$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 3)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.3.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 28$ mit $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $84$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.4

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Schritt 1.2.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Schritt 1.2.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.4.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 28$ mit $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.3

Subtrahiere $84$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.4

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Schritt 1.2.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Schritt 1.2.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 6 + \sqrt{15}}{7}$

Schritt 1.2.6.2.4.5

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{15}}{7}$

Schritt 1.2.6.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{15}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{15})}{7}$

Schritt 1.2.6.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{15})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (6 - \sqrt{15})}{7}$

Schritt 1.2.6.2.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}$

Schritt 1.2.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.5.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 28$ mit $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.3

Subtrahiere $84$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.4

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Schritt 1.2.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Schritt 1.2.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Schritt 1.2.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 6 - \sqrt{15}}{7}$

Schritt 1.2.6.2.5.5

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{15}}{7}$

Schritt 1.2.6.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{15}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{15})}{7}$

Schritt 1.2.6.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - (\sqrt{15})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (6 + \sqrt{15})}{7}$

Schritt 1.2.6.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Schritt 1.2.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = 7 (- 6) {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 42 {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 6$ und $3$ .

$f'' (- 6) = - 42 {(- 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f'' (- 6) = - 42 \cdot 81 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 42$ mit $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (- 42 + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.6

Addiere $- 42$ und $6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.7.1

Addiere $- 6$ und $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 {(- 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.7.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 \cdot - 27) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.7.3

Multipliziere $- 6 (4 \cdot - 27)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.7.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 27$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 \cdot - 108 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.7.3.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 108$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.7.4

Addiere $- 6$ und $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {(- 3)}^{4})$

Schritt 4.2.1.7.5

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + 81)$

Schritt 4.2.1.8

Addiere $648$ und $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 \cdot 729$

Schritt 4.2.1.9

Mutltipliziere $- 36$ mit $729$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 26244$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $26244$ von $- 3402$ .

$f'' (- 6) = - 29646$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 29646$ .

$- 29646$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 3)$ konkav, weil $f'' (- 6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = 7 (- 2) {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 14$ mit $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (- 14 + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2.1.6

Addiere $- 14$ und $6$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.7.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2.1.7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2.1.7.3

Multipliziere $- 2 (4 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.7.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 \cdot 4 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2.1.7.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Schritt 5.2.1.7.4

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1^{4})$

Schritt 5.2.1.7.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1)$

Schritt 5.2.1.8

Addiere $- 8$ und $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 \cdot - 7$

Schritt 5.2.1.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$f'' (- 2) = - 14 + 56$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 14$ und $56$ .

$f'' (- 2) = 42$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $42$ .

$42$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f'' (- 1) = 7 (- 1) {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 7 {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 2^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 16 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (- 7 + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2.1.6

Addiere $- 7$ und $6$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.7.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 2^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2.1.7.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 8) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2.1.7.3

Multipliziere $- 1 (4 \cdot 8)$ .

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Schritt 6.2.1.7.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 \cdot 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2.1.7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Schritt 6.2.1.7.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 2^{4})$

Schritt 6.2.1.7.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 16)$

Schritt 6.2.1.8

Addiere $- 32$ und $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 \cdot - 16$

Schritt 6.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + 16$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 112$ und $16$ .

$f'' (- 1) = - 96$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 96$ .

$- 96$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ konkav, weil $f'' (- 1)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 7 (0) {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 3^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 81 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $81$ .

$f'' (0) = 0 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + (0 + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2.1.6

Addiere $0$ und $6$ .

$f'' (0) = 0 + 6 ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.7.1

Addiere $0$ und $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 3^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2.1.7.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 27) + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2.1.7.3

Multipliziere $0 (4 \cdot 27)$ .

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Schritt 7.2.1.7.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 \cdot 108 + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2.1.7.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $108$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + {((0) + 3)}^{4})$

Schritt 7.2.1.7.4

Addiere $0$ und $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 3^{4})$

Schritt 7.2.1.7.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 81)$

Schritt 7.2.1.8

Addiere $0$ und $81$ .

$f'' (0) = 0 + 6 \cdot 81$

Schritt 7.2.1.9

Mutltipliziere $6$ mit $81$ .

$f'' (0) = 0 + 486$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $486$ .

$f'' (0) = 486$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $486$ .

$486$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9