Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 6 + e^{x}$ .

$\frac{(6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [6 + e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [6 + e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.5

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.5.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.5.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.6.2.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.6.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.2.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{6 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Schritt 2.1.1.6.2.2.1

Subtrahiere $e^{2 x}$ von $e^{2 x}$ .

$\frac{6 e^{x} + 0}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.2.2.2

Addiere $6 e^{x}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{6 e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}]$

Schritt 2.1.2.2

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{({(6 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 6 + e^{x}$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 + e^{x}$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $6 + e^{x}$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.9

Addiere $x$ und $x$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10

Faktorisiere $6 + e^{x}$ aus ${(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})$ heraus.

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Schritt 2.1.2.10.1

Faktorisiere $6 + e^{x}$ aus ${(6 + e^{x})}^{2} e^{x}$ heraus.

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.2

Faktorisiere $6 + e^{x}$ aus $- 2 e^{2 x} (6 + e^{x})$ heraus.

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) + (6 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.10.3

Faktorisiere $6 + e^{x}$ aus $(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) + (6 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ heraus.

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.11.1

Faktorisiere $6 + e^{x}$ aus ${(6 + e^{x})}^{4}$ heraus.

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(6 + e^{x}) {(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(6 + e^{x}) {(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \frac{(6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.12

Kombiniere $6$ und $\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{6 ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (6 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (6 e^{x}) + 6 (e^{x} e^{x}) + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.13.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{36 e^{x} + 6 (e^{x} e^{x}) + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.3.1.2

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.13.3.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{x + x} + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.3.1.2.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{2 x} + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{2 x} - 12 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.3.2

Subtrahiere $12 e^{2 x}$ von $6 e^{2 x}$ .

$\frac{36 e^{x} - 6 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.13.4.1

Faktorisiere $6$ aus $36 e^{x} - 6 e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.13.4.1.1

Faktorisiere $6$ aus $36 e^{x}$ heraus.

$\frac{6 (6 e^{x}) - 6 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.4.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 e^{2 x}$ heraus.

$\frac{6 (6 e^{x}) + 6 (- e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.4.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (6 e^{x}) + 6 (- e^{2 x})$ heraus.

$\frac{6 (6 e^{x} - e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.4.2

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$\frac{6 (6 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.4.3

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$\frac{6 (6 u - u^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.4.4

Faktorisiere $u$ aus $6 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.13.4.4.1

Faktorisiere $u$ aus $6 u$ heraus.

$\frac{6 (u \cdot 6 - u^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.4.4.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$\frac{6 (u \cdot 6 + u (- u))}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.4.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 6 + u (- u)$ heraus.

$\frac{6 (u (6 - u))}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13.4.5

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

Schritt 2.2.3.2

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.2.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.2.3.2.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.2.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.2.3.3

Setze $6 - e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.1

Setze $6 - e^{x}$ gleich $0$ .

$6 - e^{x} = 0$

Schritt 2.2.3.3.2

Löse $6 - e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{x} = - 6$

Schritt 2.2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.2.3.3.2.2.2.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.2.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.2.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$e^{x} = 6$

Schritt 2.2.3.3.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

Schritt 2.2.3.3.2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.2.3.3.2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (6)$

Schritt 2.2.3.3.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (6)$

Schritt 2.2.3.3.2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (6)$

Schritt 2.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (6)$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$6 + e^{x} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = - 6$

Schritt 3.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 6)$

Schritt 3.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 6)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.2.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - 6$

Keine Lösung

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \ln (6)) \cup (\ln (6), \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \ln (6))$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - e^{0})}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - 1 \cdot 1)}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - 1)}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} \cdot 5}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f'' (0) = \frac{30 e^{0}}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Schritt 5.2.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{{(6 + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $6$ und $1$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{7^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{343}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{30}{343}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{30}{343}$ .

$\frac{30}{343}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \ln (6))$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, \ln (6))$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\ln (6), \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$ .

$\frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(\ln (6), \infty)$ konkav, weil $f'' (4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(\ln (6), \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, \ln (6))$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(\ln (6), \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8