Analysis Beispiele

$y = x + \cos (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $y = x + \cos (2 x)$ als Funktion.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 2.1.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 2.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 2.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 2.2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Schritt 2.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $4 \cos (2 x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 4 \cos (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x)$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 4 \cos (2 x) = 0$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (2 x) = 0$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (2 x) = 0$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$\cos (2 x) = 0$

Schritt 3.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (0)$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 3.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.7.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.7.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 3.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 3.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 3.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.7.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.8

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 3.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 3.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.9

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{π}{4}$ in $f (x) = x + \cos (2 x)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Schritt 4.1.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 4.1.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ in $f (x) = x + \cos (2 x)$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{4})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 \cos (1.37079632)$ .

$- 4 \cos (1.37079632)$

Schritt 6.3

Bei $0.68539816$ , die zweite Ableitung ist $- 0.79467732$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{π}{4})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{π}{4})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π}{4}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 \cos (1.77079632)$ .

$- 4 \cos (1.77079632)$

Schritt 7.3

Bei $0.88539816$ ist die zweite Ableitung $0.79467732$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{π}{4}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Schritt 9