Analysis Beispiele

$y = x - x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $y = x - x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = x - x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - 2 x$

Schritt 2.1.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 2 x + 1$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 + 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2 = 0$

Schritt 3.2

Da $- 2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte