Analysis Beispiele

$y = x^{5} + x^{3} - 2$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{5} + x^{3} - 2$ als Funktion.

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + x^{3} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $5 x^{4} + 3 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} + 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 x^{3} + 3 (2 x)$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 6 x$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $20 x^{3} + 6 x$ .

$20 x^{3} + 6 x$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $20 x^{3} + 6 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$20 x^{3} + 6 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $20 x^{3} + 6 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$2 x (10 x^{2}) + 6 x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x$ heraus.

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (10 x^{2}) + 2 x (3)$ heraus.

$2 x (10 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$10 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $10 x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $10 x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$10 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $10 x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x^{2} = - 3$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x^{2} = - 3$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x^{2} = - 3$ durch $10$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{10}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{3}{10}$

Schritt 3.5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$ .

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Schritt 3.5.2.4.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{10}}$

Schritt 3.5.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{10}}$

Schritt 3.5.2.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{10}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Schritt 3.5.2.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Schritt 3.5.2.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 3.5.2.4.5.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Schritt 3.5.2.4.5.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Schritt 3.5.2.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.2.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 3.5.2.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 3.5.2.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.2.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.2.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.2.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.2.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Schritt 3.5.2.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

Schritt 3.5.2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

Schritt 3.5.2.4.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{10}$

Schritt 3.5.2.4.7

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{30}}{10}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Schritt 3.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Schritt 3.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Schritt 3.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (10 x^{2} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{5} + {(0)}^{3} - 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 2$

Schritt 4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f (0) = - 2$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ ermittelt werden kann, ist $(0, - 2)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, - 2)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} + 6 (- 0.1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 + 6 (- 0.1)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 + 6 (- 0.1)$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $0.6$ von $- 0.02$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.62$ .

$- 0.62$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.62$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 6 (0.1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 6 (0.1)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 6 (0.1)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

Schritt 7.2.2

Addiere $0.02$ und $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.62$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.62$ .

$0.62$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.62$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, - 2)$ .

$(0, - 2)$

Schritt 9