Analysis Beispiele

$y = x^{5} \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{5} \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.3.1

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.1.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.1.3.2.2.5

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Schritt 2.1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4} \ln (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.2.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.2.5

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 2.2.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.2.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.2.6.2.5

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $4 x^{3}$ und $5 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

Schritt 2.2.3.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $9 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ durch $20 x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ durch $20 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Schritt 3.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Schritt 3.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) = \frac{- 9}{20}$

Schritt 3.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (x) = - \frac{9}{20}$

Schritt 3.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{9}{20}}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (x) = - \frac{9}{20}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{9}{20}} = x$

Schritt 3.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- \frac{9}{20}}$ um.

$x = e^{- \frac{9}{20}}$

Schritt 3.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ in $f (x) = x^{5} \ln (x)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})}^{5} \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ an.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1^{5}}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Schritt 4.1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{9}{20}})}^{5}$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{20} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Schritt 4.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.1.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 (4)} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 \cdot 4} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Schritt 4.1.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Schritt 4.1.2.4

Bringe $e^{\frac{9}{20}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (e^{- \frac{9}{20}})$

Schritt 4.1.2.5

Zerlege $\ln (e^{- \frac{9}{20}})$ durch Herausziehen von $- \frac{9}{20}$ aus dem Logarithmus.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot \ln (e))$

Schritt 4.1.2.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20})$

Schritt 4.1.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{\frac{9}{4}}}$ mit $\frac{9}{20}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{e^{\frac{9}{4}} \cdot 20}$

Schritt 4.1.2.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $e^{\frac{9}{4}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Schritt 4.1.2.10

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$ .

$- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ in $f (x) = x^{5} \ln (x)$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.53762815$ .

$f'' (0.53762815) = 9 {(0.53762815)}^{3} + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.53762815$ mit $3$ .

$f'' (0.53762815) = 9 \cdot 0.1553982 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $0.53762815$ mit $3$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 \cdot (0.1553982 \ln (0.53762815))$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 3.10796414 \ln (0.53762815)$

Schritt 6.2.1.5

Vereinfache $3.10796414 \ln (0.53762815)$ , indem du $3.10796414$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln ({0.53762815}^{3.10796414})$

Schritt 6.2.1.6

Potenziere $0.53762815$ mit $3.10796414$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln (0.14532747)$

Schritt 6.2.2

Addiere $1.39858386$ und $\ln (0.14532747)$ .

$f'' (0.53762815) = - 0.53018177$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.53018177$ .

$- 0.53018177$

Schritt 6.3

Bei $0.53762815$ , die zweite Ableitung ist $- 0.53018177$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.73762815$ .

$f'' (0.73762815) = 9 {(0.73762815)}^{3} + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.73762815$ mit $3$ .

$f'' (0.73762815) = 9 \cdot 0.40134 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $0.73762815$ mit $3$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 \cdot (0.40134 \ln (0.73762815))$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 8.02680006 \ln (0.73762815)$

Schritt 7.2.1.5

Vereinfache $8.02680006 \ln (0.73762815)$ , indem du $8.02680006$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln ({0.73762815}^{8.02680006})$

Schritt 7.2.1.6

Potenziere $0.73762815$ mit $8.02680006$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln (0.08692764)$

Schritt 7.2.2

Addiere $3.61206002$ und $\ln (0.08692764)$ .

$f'' (0.73762815) = 1.16938082$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.16938082$ .

$1.16938082$

Schritt 7.3

Bei $0.73762815$ ist die zweite Ableitung $1.16938082$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Schritt 9