Analysis Beispiele

$y = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ als Funktion.

$f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3 + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $5 x^{4} - 20 x^{3} + 3$ und $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 20 x^{3} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 20$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} + 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $20 x^{3} - 60 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $20 x^{3} - 60 x^{2}$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $20 x^{2}$ aus $20 x^{3} - 60 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $20 x^{2}$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$20 x^{2} (x) - 60 x^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $20 x^{2}$ aus $- 60 x^{2}$ heraus.

$20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (- 3) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $20 x^{2}$ aus $20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (- 3)$ heraus.

$20 x^{2} (x - 3) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $20 x^{2} (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4} + 3 (0) + 7$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{4} + 3 (0) + 7$

Schritt 4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 3 (0) + 7$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3 (0) + 7$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 7$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 7$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 7$

Schritt 4.1.2.2.3

Addiere $0$ und $7$ .

$f (0) = 7$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ ermittelt werden kann, ist $(0, 7)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 7)$

Schritt 4.3

Ersetze $3$ in $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = {(3)}^{5} - 5 {(3)}^{4} + 3 (3) + 7$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f (3) = 243 - 5 {(3)}^{4} + 3 (3) + 7$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (3) = 243 - 5 \cdot 81 + 3 (3) + 7$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $81$ .

$f (3) = 243 - 405 + 3 (3) + 7$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = 243 - 405 + 9 + 7$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Subtrahiere $405$ von $243$ .

$f (3) = - 162 + 9 + 7$

Schritt 4.3.2.2.2

Addiere $- 162$ und $9$ .

$f (3) = - 153 + 7$

Schritt 4.3.2.2.3

Addiere $- 153$ und $7$ .

$f (3) = - 146$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 146$ .

$- 146$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $3$ in $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ ermittelt werden kann, ist $(3, - 146)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(3, - 146)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 7), (3, - 146)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} - 60 {(- 0.1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 60 \cdot 0.01$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 60$ mit $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $0.6$ von $- 0.02$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.62$ .

$- 0.62$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.62$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (\frac{3}{2}) = 20 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 20 (\frac{27}{2^{3}}) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 20 (\frac{27}{8}) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (5) (\frac{27}{8}) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (5 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (5 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{27}{2}) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Kombiniere $5$ und $\frac{27}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 27}{2} - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $27$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 60 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 7.2.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 60 \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 7.2.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 60 (\frac{9}{4})$

Schritt 7.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $- 60$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} + 4 (- 15) (\frac{9}{4})$

Schritt 7.2.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} + 4 \cdot (- 15 (\frac{9}{4}))$

Schritt 7.2.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 15 \cdot 9$

Schritt 7.2.1.11

Mutltipliziere $- 15$ mit $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 135$

Schritt 7.2.2

Um $- 135$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 135 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $- 135$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} + \frac{- 135 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135 - 135 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $- 135$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135 - 270}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Subtrahiere $270$ von $135$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 135}{2}$

Schritt 7.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{135}{2}$

Schritt 7.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{135}{2}$ .

$- \frac{135}{2}$

Schritt 7.3

Bei $\frac{3}{2}$ , die zweite Ableitung ist $- 67.5$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, 3)$

Abfallend im Intervall $(0, 3)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.1$ .

$f'' (3.1) = 20 {(3.1)}^{3} - 60 {(3.1)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $3.1$ mit $3$ .

$f'' (3.1) = 20 \cdot 29.791 - 60 {(3.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $29.791$ .

$f'' (3.1) = 595.82 - 60 {(3.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $3.1$ mit $2$ .

$f'' (3.1) = 595.82 - 60 \cdot 9.61$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 60$ mit $9.61$ .

$f'' (3.1) = 595.82 - 576.6$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $576.6$ von $595.82$ .

$f'' (3.1) = 19.22$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $19.22$ .

$19.22$

Schritt 8.3

Bei $3.1$ ist die zweite Ableitung $19.22$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(3, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(3, - 146)$ .

$(3, - 146)$

Schritt 10