Analysis Beispiele

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.1.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Stelle die Terme um.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Schritt 2.1.4.2.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 2.1.4.2.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (1) - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sin^{2} (x)$ heraus.

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sin (x)$ heraus.

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ heraus.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x))$ heraus.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.2.1.1

Stelle die Terme um.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 3.3.2.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Schritt 3.3.2.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3.5

Setze $- 2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $- 2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 3.5.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 3.5.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 3.5.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 3.5.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 3.5.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 3.5.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.6.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 3.5.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 3.5.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.5.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.6

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $\sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 3.6.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 3.6.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 3.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.6.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 3.6.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.6.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.6.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.6.2.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.6.2.7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 3.6.2.7.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.6.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.2.7.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.6.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.6.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.6.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 3.6.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.6.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{π}{6}$ in $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.1.2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{4}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Schritt 4.1.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4 - 3}{4}$

Schritt 4.1.2.2.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{π}{6}$ in $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{6})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (2 (0.42359877)) - 2 \sin (0.42359877)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$ .

$2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Schritt 6.3

Bei $0.42359877$ ist die zweite Ableitung $0.50208433$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \frac{π}{6})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π}{6}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (2 (0.62359877)) - 2 \sin (0.62359877)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$ .

$2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Schritt 7.3

Bei $0.62359877$ , die zweite Ableitung ist $- 0.53195951$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\frac{π}{6}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\frac{π}{6}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Schritt 9