Analysis Beispiele

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = \sin (x) + \cos (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 2.2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x) - \cos (x)$ .

$- \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.3

Separiere Brüche.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.6.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.7

Separiere Brüche.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 3.9

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Schritt 3.11

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = 1$

Schritt 3.12

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.12.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.12.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.12.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Schritt 3.13

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 3.14

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.14.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 3.15

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 3.16

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.16.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 3.16.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.17

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 3.17.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.17.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.17.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.17.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.18

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.18.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 3.18.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.18.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.18.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.18.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 3.18.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.18.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 3.18.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 3.18.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.19

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{3 π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.1.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.1.2.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 4.1.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Schritt 4.1.2.2.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{3 π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $\frac{3 π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.3.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.3.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 4.3.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.2.2.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{3 π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.25619449$ .

$f'' (2.25619449) = - \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$ .

$- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Schritt 6.3

Bei $2.25619449$ , die zweite Ableitung ist $- 0.14118577$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{3 π}{4})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.45619449$ .

$f'' (2.45619449) = - \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$ .

$- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Schritt 7.3

Bei $2.45619449$ ist die zweite Ableitung $0.14118577$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Schritt 9