Analysis Beispiele

$y = - \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = - \sin (x)$ als Funktion.

$f (x) = - \sin (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = - \cos (x)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

Schritt 2.2.3

Multipliziere.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sin (x)$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\sin (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.5

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Der Punkt, der durch Einsetzen von in $f (x) = - \sin (x)$ ermittelt werden kann, ist $(,)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(,)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty,)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (- 0.1)$ .

$\sin (- 0.1)$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.09983341$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty,)$

Abfallend im Intervall $(- \infty,)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (0.1)$ .

$\sin (0.1)$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.09983341$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(,)$ .

$(,)$

Schritt 9