Analysis Beispiele

$y = \ln (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Schreibe $y = \ln (x^{2} + 1)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Schritt 2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 2.1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

Schritt 2.1.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 1} \cdot x$

Schritt 2.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $2$ und $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} = - 2$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 2$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $1$ in $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1$ in $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ ermittelt werden kann, ist $(1, \ln (2))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1, \ln (2))$

Schritt 4.3

Ersetze $- 1$ in $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 1) = \ln (2)$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1$ in $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ ermittelt werden kann, ist $(- 1, \ln (2))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1, \ln (2))$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.1$ mit $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $- 2.42$ und $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 1.1$ mit $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $1.21$ und $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $2.21$ mit $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $- 0.42$ durch $4.8841$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Schritt 6.3

Bei $- 1.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.08599332$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 1)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Addiere $0$ und $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

Schritt 7.2.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f'' (0) = 2$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 7.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 1, 1)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 1, 1)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Addiere $- 2.42$ und $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $1.21$ und $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $2.21$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $- 0.42$ durch $4.8841$ .

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Schritt 8.3

Bei $1.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.08599332$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall $(1, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

Schritt 10