Analysis Beispiele

$y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

Schritt 1

Schreibe $y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ als Funktion.

$f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} + 3 x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$20 x^{3} + 3 (5 x^{4})$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$20 x^{3} + 15 x^{4}$

Schritt 2.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{4} + 20 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{4}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{3}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + 60 x^{2}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $60 x^{2}$ aus $60 x^{3} + 60 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $60 x^{2}$ aus $60 x^{3}$ heraus.

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $60 x^{2}$ aus $60 x^{2}$ heraus.

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $60 x^{2}$ aus $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1)$ heraus.

$60 x^{2} (x + 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $60 x^{2} (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{5}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 5 \cdot 0 + 3 {(0)}^{5}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{5}$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $- 1$ in $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (- 1) = 5 + 3 {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.3.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- 1) = 5 + 3 \cdot - 1$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 3$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f (- 1) = 2$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1$ in $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ ermittelt werden kann, ist $(- 1, 2)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1, 2)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- 1, 2)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{3} + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.1$ mit $3$ .

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot - 1.331 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 1.1$ mit $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 \cdot 1.21$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $60$ mit $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 72.6$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 79.86$ und $72.6$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7.26$ .

$- 7.26$

Schritt 6.3

Bei $- 1.1$ , die zweite Ableitung ist $- 7.26$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 1)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (15) (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{- 1}{2}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.6

Kombiniere $15$ und $\frac{- 1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 \cdot - 1}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Schritt 7.2.1.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 7.2.1.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 7.2.1.11

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Schritt 7.2.1.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{2^{2}})$

Schritt 7.2.1.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{4})$

Schritt 7.2.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.14.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 (15) (\frac{1}{4})$

Schritt 7.2.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 \cdot (15 (\frac{1}{4}))$

Schritt 7.2.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15$

Schritt 7.2.2

Um $15$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $15$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 15 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 30}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Addiere $- 15$ und $30$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{15}{2}$ .

$\frac{15}{2}$

Schritt 7.3

Bei $- \frac{1}{2}$ ist die zweite Ableitung $7.5$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 1, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 1, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 {(0.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 \cdot 0.01$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $60$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 0.6$

Schritt 8.2.2

Addiere $0.06$ und $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.66$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.66$ .

$0.66$

Schritt 8.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.66$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- 1, 2)$ .

$(- 1, 2)$

Schritt 10